Studio convergenza integrale improprio
Salve a tutti. Sto cercando di capire come stabilire la convergenza di un integrali improprio.
Ho questo integrale improprio:
$\int_{0}^{1} $(1)/$(sqrt(x)$$(1+sqrt(x)$)^$3$)dx
La formula non è uscita bene, spero che si capisce. Al numeratore c'è 1 e al denominatore c'è $(sqrt(x)$$(1+sqrt(x)$)^$3$)
Allora ho usato il criterio del confronto asintotico, con g(x)= $1/sqrt(x)$
Ho studiato il limite per x che tende a 1 da sinistra della f(x) data fratto g(x) e mi è uscito $1/8$
poichè 0<$1/8$< $oo$ allora f$\sim$g per x $->$ 1(da sinistra)
Quindi l'integrale dato converge se e solo se $\int_{0}^{1} $1/sqrt(x)$ dx$
POichè quest'ultimo integrale converge a 2, allora l'integrale dato converge.
Sta bene così? Ho sbagliato qualcosa? C'è un modo più immediato per risolverlo? Grazie.
Poi dopo aver stabilito che converge, chiede di calcolarlo e mi esce =$3/4$
Ho questo integrale improprio:
$\int_{0}^{1} $(1)/$(sqrt(x)$$(1+sqrt(x)$)^$3$)dx
La formula non è uscita bene, spero che si capisce. Al numeratore c'è 1 e al denominatore c'è $(sqrt(x)$$(1+sqrt(x)$)^$3$)
Allora ho usato il criterio del confronto asintotico, con g(x)= $1/sqrt(x)$
Ho studiato il limite per x che tende a 1 da sinistra della f(x) data fratto g(x) e mi è uscito $1/8$
poichè 0<$1/8$< $oo$ allora f$\sim$g per x $->$ 1(da sinistra)
Quindi l'integrale dato converge se e solo se $\int_{0}^{1} $1/sqrt(x)$ dx$
POichè quest'ultimo integrale converge a 2, allora l'integrale dato converge.
Sta bene così? Ho sbagliato qualcosa? C'è un modo più immediato per risolverlo? Grazie.
Poi dopo aver stabilito che converge, chiede di calcolarlo e mi esce =$3/4$
Risposte
Ciao 
Se ho capito bene l'integrale è questo:
$\int_0^1 h(x)dx=\int_0^1 1/(\sqrtx(1+\sqrtx)^3)dx$
Io ho fatto così:
Calcolo il dominio di $h(x)$:
$\sqrtx(1+\sqrtx)^3 \ne 0 \Rightarrow x > 0 \Rightarrow \text{dominio di } h(x): (0, + \infty)$
Controllo la convergenza per $x \to 0^+$:
$\lim_{x \to 0^+} \int_x^1 h(t)dt \Rightarrow \lim_{x \to 0^+} 1/(\sqrtt(1+\sqrtt)^3) = +\infty \text{ di ordine } 1/2 \Rightarrow \text{converge}$
Calcolo l'integrale:
$\int 1/(\sqrtt(1+\sqrtt)^3)dt=[u=1+\sqrtt \Rightarrow \sqrtt=u-1 \Rightarrow t=(u-1)^2 \Rightarrow dt=2(u-1)du] \Rightarrow$
$\Rightarrow \int 1/((u-1)u^3)2(u-1)du=2\int u^(-3)du=2(-u^(-2)/2)=-u^(-2)=-1/(1+\sqrtt)^2$
e quindi
$\lim_{x \to 0^+} \int_x^1 1/(\sqrtt(1+\sqrtt)^3)dt=\lim_{x \to 0^+} [-1/(1+\sqrtt)^2]_x^1= [-1/(1+\sqrtt)^2]_0^1=(-1/4+1)=3/4$
Se ho capito bene l'integrale è questo:
$\int_0^1 h(x)dx=\int_0^1 1/(\sqrtx(1+\sqrtx)^3)dx$
Io ho fatto così:
Calcolo il dominio di $h(x)$:
$\sqrtx(1+\sqrtx)^3 \ne 0 \Rightarrow x > 0 \Rightarrow \text{dominio di } h(x): (0, + \infty)$
Controllo la convergenza per $x \to 0^+$:
$\lim_{x \to 0^+} \int_x^1 h(t)dt \Rightarrow \lim_{x \to 0^+} 1/(\sqrtt(1+\sqrtt)^3) = +\infty \text{ di ordine } 1/2 \Rightarrow \text{converge}$
Calcolo l'integrale:
$\int 1/(\sqrtt(1+\sqrtt)^3)dt=[u=1+\sqrtt \Rightarrow \sqrtt=u-1 \Rightarrow t=(u-1)^2 \Rightarrow dt=2(u-1)du] \Rightarrow$
$\Rightarrow \int 1/((u-1)u^3)2(u-1)du=2\int u^(-3)du=2(-u^(-2)/2)=-u^(-2)=-1/(1+\sqrtt)^2$
e quindi
$\lim_{x \to 0^+} \int_x^1 1/(\sqrtt(1+\sqrtt)^3)dt=\lim_{x \to 0^+} [-1/(1+\sqrtt)^2]_x^1= [-1/(1+\sqrtt)^2]_0^1=(-1/4+1)=3/4$
"Brancaleone":
Ciao
Se ho capito bene l'integrale è questo:
$\int_0^1 h(x)dx=\int_0^1 1/(\sqrtx(1+\sqrtx)^3)dx$
Io ho fatto così:
Calcolo il dominio di $h(x)$:
$\sqrtx(1+\sqrtx)^3 \ne 0 \Rightarrow x > 0 \Rightarrow \text{dominio di } h(x): (0, + \infty)$
Controllo la convergenza per $x \to 0^+$:
$\lim_{x \to 0^+} \int_x^1 h(t)dt \Rightarrow \lim_{x \to 0^+} 1/(\sqrtt(1+\sqrtt)^3) = +\infty \text{ di ordine } 1/2 \Rightarrow \text{converge}$
Calcolo l'integrale:
$\int 1/(\sqrtt(1+\sqrtt)^3)dt=[u=1+\sqrtt \Rightarrow \sqrtt=u-1 \Rightarrow t=(u-1)^2 \Rightarrow dt=2(u-1)du] \Rightarrow$
$\Rightarrow \int 1/((u-1)u^3)2(u-1)du=2\int u^(-3)du=2(-u^(-2)/2)=-u^(-2)=-1/(1+\sqrtt)^2$
e quindi
$\lim_{x \to 0^+} \int_x^1 1/(\sqrtt(1+\sqrtt)^3)dt=\lim_{x \to 0^+} [-1/(1+\sqrtt)^2]_x^1= [-1/(1+\sqrtt)^2]_0^1=(-1/4+1)=3/4$
Grazie mille! Quindi come prima cosa quando mi si chiede di studiare la convergenza calcolo il dominio? Come mai controlli la convergenza così? Mi potresti dare un metodo da seguire? Come l'ho fatto io starebbe bene? Io conosco solo il criterio del confronto e confronto asintotico per discutere questi tipi di esercizi. Grazie mille.
Ullalà quante domande in una volta
Sì: studiando il dominio dell'integranda ricavi poi il dominio della funzione integrale, anche perché già da qui ti puoi accorgere se l'integrale ha senso oppure no.
Me l'hanno insegnata così...
Dato un integrale improprio, calcolo il limite per gli estremi: se il valore che ottengo è un numero finito (sia esso $l$ o $0$) allora converge, se invece è $\pm \infty$ ne controllo l'ordine: se l'ordine è $<1$ allora converge, in caso contrario diverge.
Per controllare la convergenza? E' il metodo che ho appena usato: calcolo il dominio dell'integranda e ne controllo i limiti agli estremi, per vedere se converge oppure no...
Non lo so, non conosco questo tuo metodo, ma sembra che il risultato finale ci venga uguale
"kikka3":
Quindi come prima cosa quando mi si chiede di studiare la convergenza calcolo il dominio?
Sì: studiando il dominio dell'integranda ricavi poi il dominio della funzione integrale, anche perché già da qui ti puoi accorgere se l'integrale ha senso oppure no.
"kikka3":
Come mai controlli la convergenza così?
Me l'hanno insegnata così...
Dato un integrale improprio, calcolo il limite per gli estremi: se il valore che ottengo è un numero finito (sia esso $l$ o $0$) allora converge, se invece è $\pm \infty$ ne controllo l'ordine: se l'ordine è $<1$ allora converge, in caso contrario diverge.
"kikka3":
Mi potresti dare un metodo da seguire?
Per controllare la convergenza? E' il metodo che ho appena usato: calcolo il dominio dell'integranda e ne controllo i limiti agli estremi, per vedere se converge oppure no...
"kikka3":
Come l'ho fatto io starebbe bene?
Non lo so, non conosco questo tuo metodo, ma sembra che il risultato finale ci venga uguale
Grazie mille Brancaleone! E scusa per le mille domande!!!
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