Studio convergenza integrale
Buongiorno a tutti. Ho un po' di difficolta' nello stabilire la convergenza del seguente integrale.
$ int_(0)^(+oo ) (senx^(2/3))/(x*((logx)^2+1)) dx $
Il mio ragionamento è stato il seguente:
l'ho sdoppiato in due integrali relativamente tra 0 e p uno e tra p e infinito l'altro.
Nel primo ho sviluppato il seno con taylor, ottenendo una funzione asintotica alla prima del tipo : $ 1/((x^(2/3))*(log^2x+1) $
e poiché l' esponente della x è minore di 1 e l'esponente del log appartiene ad r allora converge.Quel "+ 1" al denominatore, posso trascurarlo?O devo in qualche modo esprimerlo sotto forma di logaritmo e combinarlo col $ (log^2x) $ ?
Per il secondo integrale invece ho ragionato come segue:
la funzione asintotica che ho scelto è $ 1/(x*log^2x $
poichè il seno all'infinito al max vale 1 e la costante additiva 1 non la considero all'infinito,
Pero' essendo la x elevata ad 1 e il logx elevato a 2 allora confrontando con le funzioni confronto esso diverge.
Il mio ragionamento è errato? Grazie a tutti voi!
ps. finalmente ho imparato ad inserire le formule in modo corretto!
Vi ringrazio per la pazienza!
Inoltre chiedo scusa per aver erroneamente postato un post di analisi in una sezione non dedicata a cio', ma sono nuova è inizialmente ho avuto un po' di difficoltà' ad orientarmi.
$ int_(0)^(+oo ) (senx^(2/3))/(x*((logx)^2+1)) dx $
Il mio ragionamento è stato il seguente:
l'ho sdoppiato in due integrali relativamente tra 0 e p uno e tra p e infinito l'altro.
Nel primo ho sviluppato il seno con taylor, ottenendo una funzione asintotica alla prima del tipo : $ 1/((x^(2/3))*(log^2x+1) $
e poiché l' esponente della x è minore di 1 e l'esponente del log appartiene ad r allora converge.Quel "+ 1" al denominatore, posso trascurarlo?O devo in qualche modo esprimerlo sotto forma di logaritmo e combinarlo col $ (log^2x) $ ?
Per il secondo integrale invece ho ragionato come segue:
la funzione asintotica che ho scelto è $ 1/(x*log^2x $
poichè il seno all'infinito al max vale 1 e la costante additiva 1 non la considero all'infinito,
Pero' essendo la x elevata ad 1 e il logx elevato a 2 allora confrontando con le funzioni confronto esso diverge.
Il mio ragionamento è errato? Grazie a tutti voi!
ps. finalmente ho imparato ad inserire le formule in modo corretto!
Vi ringrazio per la pazienza!
Inoltre chiedo scusa per aver erroneamente postato un post di analisi in una sezione non dedicata a cio', ma sono nuova è inizialmente ho avuto un po' di difficoltà' ad orientarmi.
Risposte
Ciao Mirtillo_84,
Brava, sei migliorata molto nello scrivere le formule a parte quel $dx $ a denominatore...
Comunque avrei fatto così:
$\int_{0}^{+\infty}(sinx^(2/3))/(x[(logx)^2+1]) dx \le \int_{0}^{+\infty}1/(x(logx)^2) dx = \int_{0}^{1}1/(x(logx)^2) dx + \int_{1}^{+\infty}1/(x(logx)^2) dx $
Ognuno dei due ultimi integrali converge perché dei tipi $\int_{0}^{1}1/(x^a(logx)^b) dx $ e $\int_{1}^{+\infty}1/(x^a(logx)^b) dx $ con $a = 1 $ e $b = 2 $
Brava, sei migliorata molto nello scrivere le formule a parte quel $dx $ a denominatore...
Comunque avrei fatto così:
$\int_{0}^{+\infty}(sinx^(2/3))/(x[(logx)^2+1]) dx \le \int_{0}^{+\infty}1/(x(logx)^2) dx = \int_{0}^{1}1/(x(logx)^2) dx + \int_{1}^{+\infty}1/(x(logx)^2) dx $
Ognuno dei due ultimi integrali converge perché dei tipi $\int_{0}^{1}1/(x^a(logx)^b) dx $ e $\int_{1}^{+\infty}1/(x^a(logx)^b) dx $ con $a = 1 $ e $b = 2 $
Grazie!
Sei stato davvero molto gentile!
Ps.è davvero bello appartenere a questa comunità' di gente appassionata di matematica.
Sei stato davvero molto gentile!
Ps.è davvero bello appartenere a questa comunità' di gente appassionata di matematica.
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