Studio carattere della serie

[angelox9]

Ciao a tutti, devo studiare, al variare del parametro reale x, il carattere della serie.
1)\(\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{+\infty} \frac{n-\sqrt{n+1}}{n^2}x^n \)
Se \(\displaystyle x=0 \) la serie converge a 0
Se \(\displaystyle x>0, {a_{n}}>0 \) la serie è a termini positivi
Se \(\displaystyle x<0 \)
\(\displaystyle
{a_{n}}
\begin{equation}
\begin{cases}
>0,n pari \\<0,n dispari
\end{cases}
\end{equation} \)
Serie a segno alterno
\(\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{+\infty} \frac{n-\sqrt{n+1}}{n^2}x^n=
\sum\limits_{i=1}^{+\infty} \frac{n-\sqrt{n+1}}{n^2}(-1)^n |x|^n \)
Studiamo l'assoluta convergenza: 2)\(\displaystyle
\sum\limits_{i=1}^{+\infty} \frac{n-\sqrt{n+1}}{n^2} |x|^n \)
\(\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{(n+1)-\sqrt{n+2}|x|^{n+1}}{(n+1)^2}\frac{n^2}{n-\sqrt{n+1}|x|^{n}}=
|x|\frac{n+1-\sqrt{n+2}}{(n+1)^2}\frac{n^2}{n-\sqrt{n+1}}=
|x|\frac{n^2}{n^2+2n+1}\frac{n+1-\sqrt{n+2}}{n-\sqrt{n+1}} \)

\(\displaystyle \lim_{n}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=|x| \)

Per il criterio del rapporto:
Se \(\displaystyle |x|<1 \) la serie \(\displaystyle (2) \) converge \(\displaystyle => \) la \(\displaystyle (1) \) è assolutamente convergente \(\displaystyle => \) la \(\displaystyle (1) \) è convergente
Se \(\displaystyle |x|>1 \) la serie \(\displaystyle (2) \) diverge
Se \(\displaystyle x>1 \) la \(\displaystyle (1) \) e la \(\displaystyle (2) \) coincidono \(\displaystyle => \) la \(\displaystyle (1) \) diverge
Se \(\displaystyle x=1 \) \(\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{+\infty} \frac{n-\sqrt{n+1}}{n^2}x^n=\sum\limits_{i=1}^{+\infty} \frac{n}{n^2} -\frac{\sqrt{n+1}}{n^2}\approx\sum\limits_{i=1}^{+\infty} \frac{1}{n}
\) serie armonica \(\displaystyle => \) divergente
Se \(\displaystyle x<-1 \) Serie a segno alterno
\(\displaystyle
\sum\limits_{i=1}^{+\infty} (-1)^n |x|^n\frac{n-\sqrt{n+1}}{n^2} \)
\(\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=|x|\frac{n^2}{n^2+2n+1}\frac{n+1-\sqrt{n+2}}{n-\sqrt{n+1}} \)
\(\displaystyle \lim_{n}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=|x|>1 \)
Essendo \(\displaystyle \lim_{n}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=|x|>1 \)
Per il teorema della permanenza del segno \(\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=|x|>1 \), definitivamente
\(\displaystyle a_{n+1}>a_{n} \) \(\displaystyle => \)crescente \(\displaystyle => \) monotona crescente \(\displaystyle => \) serie indeterminata
Se \(\displaystyle x<-1 \) la serie è indeterminata

Secondo voi i passaggi sono giusti?
Vi ringrazio.

[Ernesto011]

Hai mai sentito parlare di serie di potenze e raggio di convergenza? Se nel corso le avete trattate, allora applicando quelle cose risolvi quasi subito.

Comunque ho controllato vagamente i calcoli e mi sembra tutto giusto, ti sei solo scordato il caso $x=-1$ (Che converge per Leibniz)

[angelox9]

@Ernesto01: Ti ringrazio di aver risposto.
Serie di potenze e raggio di convergenza? No, potresti dirmi solo accentandomi cosa sono.
Quindi pensi che i passaggi siano corretti?

[Ernesto011]

Quando una serie è del tipo $\sum_{i=1}^{+\infty} a_nx^n$ si chiama serie di potenze centrata in 0.

Si hanno molte proprietà utili:
Esiste un raggio $R>0$ chiamato raggio di convergenza tale per cui la serie converge in $(-R,R)$, può convergere o non in $x=R$ e in $x=-R$ (vanno calcolati a mano insomma) e non converge in $(-oo,-R)$ e $(R,oo)$.
Il raggio può essere calcolato facilmente, dato che soddisfa questa equazione $1/R=lim_(n->oo) |a_(n+1)|/|a_n|$ con un leggero abuso di notazione. Nel senso che se il limite è infinito allora il raggio è zero, se il limite è zero allora il raggio è infinito.