Studiare serie di funzioni

[mazzy89-votailprof]

dovrei studiare questa serie di funzioni determinandone i valori di $x$ per i quali la serie converge.

$sum_{n=1}^oo 3^nsin(x/2^n)$ con $x in RR$

io comincerei a studiare la serie derminando per quali $x$ la serie soddisfa il criterio neccessario di convergenza.per $x=0$ la serie risulta convergente e per ogni $x in RR\\{0}$ la serie non soddisfa la condizione necessaria.in questo modo l'esercizio è finito??mi sembra strano.fin troppo facile

[salvozungri]

Che strana serie... Sì comunque è corretto, non converge per alcun $x\in RR\setminus{0}$. Per $x= 0$ converge

[mazzy89-votailprof]

"Mathematico":Che strana serie... Sì comunque è corretto, non converge per alcun $x\in RR\setminus{0}$. Per $x= 0$ converge

Mah che strana serie.E a dire che mica l'ho inventata.L'ho presa dai soliti testi d'esame del prof.Mah.. Come al solito Mathematico ci sei sempre tu a darmi una mano.Grande grande grande

[mazzy89-votailprof]

ed invece di questa:

$sum_{n=1}^oo (x^(n^2))/(n^2*2^(n^2-1))$

come prima mi determino i valori di $x$ per il quale viene soddisfatta la cond. necess. di convergenza. essa è infinitesima per $-1 esatto?

[salvozungri]

Considera che la successione di funzioni è $f_n(x):= x^(n^2)/(n^2* 2^(n^2-1)) = 2/(n^2) (x/2)^(n^2)$. Rifai i conti e ti accorgerai che l'insieme che soddisfa la condizione necessaria è un po' più grande

[mazzy89-votailprof]

"Mathematico":Considera che la successione di funzioni è $f_n(x):= x^(n^2)/(n^2* 2^(n^2-1)) = 2/(n^2) (x/2)^(n^2)$. Rifai i conti e ti accorgerai che l'insieme che soddisfa la condizione necessaria è un po' più grande

eh già vero.che stupido.perchè non ci ho pensato prima

[edit]:l'intervallo di convergenza è: $]-2,2[$

[salvozungri]

al denominatore hai $2^((n^2)-1)= 2^(-1)* 2^(n^2)= (1/2)* 2^(n^2)$ continuando con i conti arrivi all'espressione che ho scritto

[edit]:Ci sei arrivato da solo, meglio così

[mazzy89-votailprof]

"Mathematico":al denominatore hai $2^((n^2)-1)= 2^(-1)* 2^(n^2)= (1/2)* 2^(n^2)$ continuando con i conti arrivi all'espressione che ho scritto

[edit]:Ci sei arrivato da solo, meglio così

per il resto vale lo stesso discorso che ho fatto prima.esatto?

[salvozungri]

Perchè hai escluso -2 e 2? Vanno bene pure questi due valori, cioè soddisfano la condizione necessaria. Ci sono problemi nel calcolo del sup, non può essere sicuramente 0.

[mazzy89-votailprof]

"Mathematico":Perchè hai escluso -2 e 2? Vanno bene pure questi due valori, cioè soddisfano la condizione necessaria. Ci sono problemi nel calcolo del sup, non può essere sicuramente 0.

ho escluso -2 e 2 perchè poi mi vado a studiare a parte la serie nel caso di $x=2$ e $x=-2$

[salvozungri]

Ok, come facciamo ora per il sup? Ad occhio dovrebbe essere $2/n^2$. Personalmente ho ragionato in modo strano, ma poi mica tanto, per determinare il sup

[mazzy89-votailprof]

mmm non mi sembra $2/n^2$ facendo un studio veloce la derivata prima si annula per $x=0$ sostituendo si ha $f_n(0)=0$

[salvozungri]

Si ma $(0, f_n(0))$ è un punto di minimo se $n$ è pari mentre è un punto di flesso se $n$ è dispari.

consideriamo $|f_n(x)|= 2/n^2 |x/2|^(n^2)$ su $[-2,2]$. La funzione è continua su un chiuso e limitato e dunque per il teorema di Weierstrass ammette massimo e minimo. $|f_n(x)|$ decresce in $[-2, 0)$, in $0$ hai un minimo e in $(0, 2]$ la funzione cresce. Il massimo della funzione lo hai agli estremi dell'intervallo, cioè per $x= +-2$, per cui : $|f_n(+-2)|= 2/n^2$ è il massimo che la funzione assume in $[-2,2]$, al variare di $n$. Ho considerato il valore assoluto perchè devi determinare il $"sup"_{x\in[-2,2]} |f_n(x)|$ (in questo caso coincide col $"max"$).

[mazzy89-votailprof]

"Mathematico":Si ma $(0, f_n(0))$ è un punto di minimo se $n$ è pari mentre è un punto di flesso se $n$ è dispari.

consideriamo $|f_n(x)|= 2/n^2 |x/2|^(n^2)$ su $[-2,2]$. La funzione è continua su un chiuso e limitato e dunque per il teorema di Weierstrass ammette massimo e minimo. $|f_n(x)|$ decresce in $[-2, 0)$, in $0$ hai un minimo e in $(0, 2]$ la funzione cresce. Il massimo della funzione lo hai agli estremi dell'intervallo, cioè per $x= +-2$, per cui : $|f_n(+-2)|= 2/n^2$ è il massimo che la funzione assume in $[-2,2]$, al variare di $n$. Ho considerato il valore assoluto perchè devi determinare il $"sup"_{x\in[-2,2]} |f_n(x)|$ (in questo caso coincide col $"max"$).

ecco si chiaro.io davo per scontato che 0 era il max senza fare troppi ragionamenti

[salvozungri]

"mazzy89":Io davo per scontato che 0 era il max senza fare troppi ragionamenti

Può capitare, ma ti consiglio sempre di fare qualche conticino in più che commettere errori durante un esame. E' un peccato compromettere un compito solo perchè si cade in considerazioni sbagliate... Mi capita molto spesso .
Tornando a noi, cosa possiamo concludere?

[mazzy89-votailprof]

"Mathematico":[quote="mazzy89"]Io davo per scontato che 0 era il max senza fare troppi ragionamenti

Può capitare, ma ti consiglio sempre di fare qualche conticino in più che commettere errori durante un esame. E' un peccato compromettere un compito solo perchè si cade in considerazioni sbagliate... Mi capita molto spesso .
Tornando a noi, cosa possiamo concludere? [/quote]

dato che la serie $sum_{n=1}^oo 2/n^2$ allora la serie di partenza converge totalmente in $[-2,2]$

[salvozungri]

Ok, va bene (manca un "converge", ma la conclusione è esatta.)

[mazzy89-votailprof]

vediamo invece questa serie:

$sum_{n=1}^oo(-1/4)^n*(n(x-3)^n)/(2n^2+1)$ con $x in RR$

studiare di essa la convergenza puntuale ed uniforme

ponendo $x-3=t$ si ha $sum_{n=1}^oo(-1/4)^n*(n*t^n)/(2n^2+1)$.cerchiamo allora il suo raggio di convergenza che sarà: $|t|<1/4 => |x-3|<1/4 => -1/4 11/4
per $x=11/4$ e $x=13/4$ la serie converge quindi l'intervallo di convergenza delle serie è $[11/4,13/4] =>$ quindi la serie converge puntualmente per $11/4<=x<=13/4$

vediamo di studiare ora la convergenze uniforme della serie.studiamo la convergenza totale nell'intervallo $[11/4,13/4]$ calcolandoci il sup di $|(-1/4)^n*(n(x-3)^n)/(2n^2+1)|$
consideriamo $|f__n(x)|=|(-1/4)^n*(n(x-3)^n)/(2n^2+1)|$ su $[11/4,13/4]$.la funzione è continua su un chiuso e limitato e dunque per il teorema di Weirstrass è dotata di massimo e minimo.a questo punto non riesco ad andare avanti mi blocco

[salvozungri]

Come hai calcolato il raggio di convergenza? Mi sa che hai commesso un errore proprio in quel passaggio. Fammi sapere

[mazzy89-votailprof]

"Mathematico":Come hai calcolato il raggio di convergenza? Mi sa che hai commesso un errore proprio in quel passaggio. Fammi sapere

ops...che errore.chissà a cosa pensavo quando eseguivo i calcoli in quel momento.il raggio è 4.quindi la serie converge per $|x-3|<4$ ovvero per $-1

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[salvozungri]

Ok, ora mi torna. Che mi sai dire della convergenza agli estremi dell'intervallo?