Studiare la sommabilità
Salve mi imbatto in questa nuova tipologia di esercizi e non so da dove partire...
Studiare la sommabilità in $]0,+infty[$ della funzione
$f(x)=(1-cos^2x)/(x^2(x^2+1))$
qualche consiglio perchè non ho trovato esempi svolti in maniera esaustiva...
Posso partire solo da una definizione teorica in cui una funzione è sommabile se $lim_(xto+infty)|f(x)|x^a=l>=0$
però non so come applicare tale definizione alla mia funzione
Studiare la sommabilità in $]0,+infty[$ della funzione
$f(x)=(1-cos^2x)/(x^2(x^2+1))$
qualche consiglio perchè non ho trovato esempi svolti in maniera esaustiva...
Posso partire solo da una definizione teorica in cui una funzione è sommabile se $lim_(xto+infty)|f(x)|x^a=l>=0$
però non so come applicare tale definizione alla mia funzione
Risposte
Fai una ricerca sul tuo libro di testo (o internet), e vedrai che operativamente la sommabilità viene verificata calcolando $\int_0^\infty |f(x)|dx$. Nota che nel tuo caso $f(x) \geq 0$.
quindi basta calcolare l'integrale nell'intervallo proprosto?
Se riesci a calcolarlo esplicitamente sì, altrimenti basta vedere se tale integrale esiste finito
e come faccio a verificarlo senza calcolarlo?
Prova se quell'integrale è convergente o meno
Ciao lepre561,
Per convergere converge e si ha:
$\int_0^{+\infty} \frac{1 - cos^2 x}{x^2(x^2 + 1)} dx = \int_0^{+\infty} \frac{sin^2 x}{x^2(x^2 + 1)}dx = \int_0^{+\infty} \frac{sin^2 x}{x^2}dx - \int_0^{+\infty} \frac{sin^2 x}{x^2 + 1} dx = \pi/4 (1 + e^{-2}) $
Per convergere converge e si ha:
$\int_0^{+\infty} \frac{1 - cos^2 x}{x^2(x^2 + 1)} dx = \int_0^{+\infty} \frac{sin^2 x}{x^2(x^2 + 1)}dx = \int_0^{+\infty} \frac{sin^2 x}{x^2}dx - \int_0^{+\infty} \frac{sin^2 x}{x^2 + 1} dx = \pi/4 (1 + e^{-2}) $
cioè nel mio caso siccome li limite per $xto+infty=0$ l'integrale converge?
"lepre561":
Posso partire solo da una definizione teorica in cui una funzione è sommabile se $lim_(xto+infty)|f(x)|x^a=l>=0$
Questa non è la definizione.
Il libro di teoria (qual è?) che dice in proposito?
in realtà lho presa da internet perchè sul libro non ho trovato niente a riguardo
Che libro usi?
Mi pare strano non ci sia un paragrafo sugli integrali impropri... Guarda bene.
Mi pare strano non ci sia un paragrafo sugli integrali impropri... Guarda bene.
marcellini sbordone
ci sono gli integrali impopri ma non parla di sommabilità...o almeno io non lo trovo
ci sono gli integrali impopri ma non parla di sommabilità...o almeno io non lo trovo
Una funzione si dice sommabili se e solo se il suo valore assoluto è (impropriamente) integrabile nel suo insieme di definizione.
Il Marcellini & Sbordone (quale edizione? Che titolo? Quando qualcuno ti chiede un riferimento bibliografico devi essere preciso) non ce l’ho sotto mano, ma mi sembra che negli eserciziari ci siano esercizi sugli integrali impropri e sulle funzioni sommabili.
In alternativa, puoi vedere qui.
Il Marcellini & Sbordone (quale edizione? Che titolo? Quando qualcuno ti chiede un riferimento bibliografico devi essere preciso) non ce l’ho sotto mano, ma mi sembra che negli eserciziari ci siano esercizi sugli integrali impropri e sulle funzioni sommabili.
In alternativa, puoi vedere qui.
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