Studiare la convergenza (semplice ed assoluta)

[87Fra87]

Come da titolo che vuol dire:
Studiare la convergenza (semplice ed assoluta)
della serie:

$ sum_(n=1)^(+oo) sqrt(4n+1) *sen(1/n) $

la convergenza semplice lo studiata ragionando così:

prima vedo $ an>=0 $ quindi

$ sqrt(4n+1)>=0 $ $ AA n>=1/4 $

$ sen(1/n)>=0 $ $ AA n>=1 $ infatti per $ nrarr +oo $ il seno tende a zero positivamente

ora dato che $ an>=0 $ $ AA n>=1 $ e dato che la nostra serie parte da 1 allora la serie è sempre positiva poi:
aplico criterio confronto:
per $ nrarr +oo $
$ 4n+1 ~ 4nrArr sqrt(4n+1) ~ sqrt(4n) = (4n)^(1/2) $
$ sen(1/n) ~1/n $
ora apllico Criterio infinitesimi
$ lim (2((n)^(1/2))*(1/n)) * n^P $
con $ p=1rArr $ il $ lim anrarr 0< +oo $ quindi la serie diverge

Corretto?
Un'altra domanda se la serie è sempre positiva perchè mi chiede di studiare l'assoluta convergenza?

[Quinzio]

La serie diverge perchè una serie del tipo $\sum b/n^\alpha$ converge solo se $\alpha>1$, e nel nostro caso $\alpha=1/2$.
Non ho visto chiaramente espressa questa conclusione.

Un'altra domanda se la serie è sempre positiva perchè mi chiede di studiare l'assoluta convergenza?

Giusta osservazione.
Tu concludi che la serie diverge sia semplicemente che assolutamente.

[87Fra87]

Ciao grazie della risposta comunque io ho sbagliato solo una cosa cioè non dovevo dire con p=1 ma con p= 1/2, infatti usando p=1/2 il limite diventa 1 quindi esce un valore minore di +oo ed diverso da zero e stando al teorema degli infinitesimi equivale a dire che la serie diverge. Comunque usando invece il metodo tuo cioè trasformando il tutto in una serie armonica generalizzata diventa ancora più semplice da dimostrare la convergenza.........Comunque ti ringrazio per l'aiuto..........