Studiare il carattere della serie numerica

[16chicca901]

$\sum_{k=1}^infty (2^(1/(n!))-1)2^n$
mi aiutate grazie ?

[_prime_number]

Ci posti i tuoi tentativi grazie?

Paola

[Noisemaker]

Anzitutto osserva che si tratta sicuamente di una serie a termini positivi (perchè) e dunque è possibile applicare i criteri validi per tali serie; dopodichè tu come procederesti?

[16chicca901]

purtroppo non so come affrontare i fattoriali!!

[Noisemaker]

ma non ti preoccupare dei fattoriali! considera il termine generale
\[(2^{\frac{1}{n!}}-1)2^n\]

hai che sicuramente $1/(n!)$ è infinitesimo , quindi dovresti ricordare il limite notevole:
\[\lim_{x\to 0} \frac{a^x-1}{x} = \ln a , \quad a > 0 \]
potresti approssimare l'espressione entro parentesi tonde... ti trovi?

[16chicca901]

ok fino a qui ci sono ma come svolgerlo per arrivare alla soluzione... non riesco mai ad arrivare alla fine...

[Noisemaker]

se ci sei,allora hai concluso perchìè essendo una serie a termini positivi, puoi considerare il confronto asintotico, e quindi puoi approssimare il termine generale con
\begin{align}
\left(2^{\frac{1}{n!}}-1\right)2^n\sim\frac{\ln 2}{n!}\cdot 2^n
\end{align}