Studiare il carattere della seguente serie... grazie!
[size=150]studiare la seguente serie: sommatoria log(n+10) tutto fratto n^2
ho provato in più modi ma nn riesco ad applicare nessun criterio...help me!![/size]
Risposte
"stella89":
:? [size=150]studiare la seguente serie:
sommatoria log(n+10) tutto fratto n^2
ho provato in più modi ma nn riesco ad applicare nessun criterio...help me!![/size]
Prova con il criterio del confronto
come si fa?con cosa lo confronto?chi me lo sa svolgere x piacere?...
confrontare con cosa? con $1/x^2$ no con $1/x$ non viene. almeno non a me..
"elijsa":
confrontare con cosa? con $1/x^2$ no con $1/x$ non viene. almeno non a me..
Ma in teoria considerata la funzione $frac{log(x+10)}{x^2}$ risulta che $frac{log(x+10)}{x^2}
Quindi per il criterio del confronto, essendo $\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n^2}$ una serie convergente, converge anche $\sum_{n=0}^\infty\frac{log(n+10)}{n^2}$ ??
Non ne sono sicura però....
Io credo che quel confronto sia sbagliato....infatti $log(x+10)~x$ e quindi hai $1/x>1/(x^2)$ quindi diverge
scusa manu: $log(n+10) /n^2$ non è $>1/n^2$? maggiore di una che converge non dice niente sulla convergenza. invece per quello che dice elwood boh..si fa cosi? io avrei detto $log(n+10)/ n^2 < log(n+10) /n$ che però $>1/n$ allora riulta $log(n+10)/ n^2 <$ di una cosa che diverge che non mi da risultati certi. oh ditemi se sbaglio e dove. thanks
Se applichi il criterio del confronto, solitamente una serie la confronti con una che sai convergere...e se questa è minore di quest'ultima significa che converge.
asintoticamente $(log(x+10))/(x^2)$ va come $x/(x^2)=1/x$ che sai divergere in quanto maggiore di $1/(x^2)$
o più semplicemente $\sum_{0}^{+\infty}1/(n^{\alpha}$ converge con $\alpha>1$ e diverge altrimenti.
Siccome $\alpha=1$ la serie diverge.
asintoticamente $(log(x+10))/(x^2)$ va come $x/(x^2)=1/x$ che sai divergere in quanto maggiore di $1/(x^2)$
o più semplicemente $\sum_{0}^{+\infty}1/(n^{\alpha}$ converge con $\alpha>1$ e diverge altrimenti.
Siccome $\alpha=1$ la serie diverge.
"ELWOOD":
asintoticamente $(log(x+10))/(x^2)$ va come $x/(x^2)=1/x$
Perché? ..
"ELWOOD":
Se applichi il criterio del confronto, solitamente una serie la confronti con una che sai convergere...e se questa è minore di quest'ultima significa che converge.
asintoticamente $(log(x+10))/(x^2)$ va come $x/(x^2)=1/x$ che sai divergere in quanto maggiore di $1/(x^2)$
o più semplicemente $\sum_{0}^{+\infty}1/(n^{\alpha}$ converge con $\alpha>1$ e diverge altrimenti.
Siccome $\alpha=1$ la serie diverge.
Non proprio, $log(1 +x)$ va a zero come $x$, ma all'infinito si comportano in maniera ben diversa!
E comunque ho già risposto altre volte a questa domanda: vedi qui.
Se vuoi che ti spieghi come si ottiene quella maggiorazione lo posso fare, ma non vedo perché devi postare la stessa domanda più volte.
Se vuoi che ti spieghi come si ottiene quella maggiorazione lo posso fare, ma non vedo perché devi postare la stessa domanda più volte.
ora ho piu dubbi di prima...:S
"irenze":
Non proprio, $log(1 +x)$ va a zero come $x$, ma all'infinito si comportano in maniera ben diversa!
Hai ragione....mi son confuso con l'andamento asintotico a 0......scusatemi tutti
$sum_(n=1)^oolog(n+10)/n^2~sum_(n=1)^oolog(n)/n^2=sum_(n=1)^oo1/(n^2log^(-1)n)
usando il criterio di condensazione risulta
$sum_(n=1)^oo2^n/(2^(2n)(log2^n)^(-1))=sum_(n=1)^oo(nlog2)/(2^(n))~sum_(n=1)^oon/2^n
notate che $sum_(n=1)^oon/2^n
ciaoo
usando il criterio di condensazione risulta
$sum_(n=1)^oo2^n/(2^(2n)(log2^n)^(-1))=sum_(n=1)^oo(nlog2)/(2^(n))~sum_(n=1)^oon/2^n
notate che $sum_(n=1)^oon/2^n
ciaoo
in generale, è facile dimostrare con la condensazione che le serie del tipo
$sum_(n=1)^oo1/(n^alphalog^betan)
convergono se
1.$alpha>1,AAbeta$
2.$alpha=1,beta>1$
per gli altri casi divergono.
nel nostro caso al primo passaggio avevamo $sum_(n=1)^oo1/(n^2log^(-1)n)$ e per questo motivo convergeva.
$sum_(n=1)^oo1/(n^alphalog^betan)
convergono se
1.$alpha>1,AAbeta$
2.$alpha=1,beta>1$
per gli altri casi divergono.
nel nostro caso al primo passaggio avevamo $sum_(n=1)^oo1/(n^2log^(-1)n)$ e per questo motivo convergeva.
Cos'è che ti confonde?
Questo è il ragionamento completo:
Hai una serie a termini positivi, quindi per dimostrare che converge puoi applicare il criterio del confronto, cioè maggiorare il termine generico con uno di una serie che sai essere convergente. Nel tuo caso una serie armonica generalizzata, cioè con termine generico del tipo $1/{n^a}$ (con $a > 1$ perché stiamo cercando di dire che converge, se volessimo dimostrare che diverge dovremmo minorare il termine generico con $1/{n^a}$ per $a \leq 1$).
Ora, si dà il caso che $log(10+n)$ si possa maggiorare con $c + n^\alpha$, con $0 < \alpha < 1$ (te lo spiego dopo, per ora fidati), abbiamo allora che la serie è maggiorata da $C * \sum 1/{n^{2 - \alpha}}$, e poiché tale serie è convergente ($\alpha < 1$ implica $2 - \alpha > 1$) anche la serie di partenza lo è.
La maggiorazione $log(10 + n) \leq c + n^\alpha$, con $0 < \alpha < 1$ si ottiene, volendo, così:
$lim_{n \to \infty} log(10 + n) / {n^\alpha} = \infty$ per ogni $\alpha > 0$ e quindi in particolare per $0 < \alpha < 1$ (questo spero che tu lo sappia, sennò chiedi), questo significa che definitivamente (cioè a partire da un certo $n_0$ in poi) $log(10 + n) \leq n$, ma poiché le due funzioni $log(10 + x)$ e $x$ sono continue (e positive) su $[0 , n_0]$, ammettono massimo su tale intervallo.
Dunque
$log(10 + n) \leq c = \max_{[0, n_0]} log(10 + n)$ per $1 \leq n \leq n_0$
e
$log(10 + n) \leq n^\alpha$ per $n \geq n_0$
Sommando le due stime ottieni la maggiorazione che ti dicevo.
Se $alpha$ generico ti confonde prendi $1/2$!
Questo è il ragionamento completo:
Hai una serie a termini positivi, quindi per dimostrare che converge puoi applicare il criterio del confronto, cioè maggiorare il termine generico con uno di una serie che sai essere convergente. Nel tuo caso una serie armonica generalizzata, cioè con termine generico del tipo $1/{n^a}$ (con $a > 1$ perché stiamo cercando di dire che converge, se volessimo dimostrare che diverge dovremmo minorare il termine generico con $1/{n^a}$ per $a \leq 1$).
Ora, si dà il caso che $log(10+n)$ si possa maggiorare con $c + n^\alpha$, con $0 < \alpha < 1$ (te lo spiego dopo, per ora fidati), abbiamo allora che la serie è maggiorata da $C * \sum 1/{n^{2 - \alpha}}$, e poiché tale serie è convergente ($\alpha < 1$ implica $2 - \alpha > 1$) anche la serie di partenza lo è.
La maggiorazione $log(10 + n) \leq c + n^\alpha$, con $0 < \alpha < 1$ si ottiene, volendo, così:
$lim_{n \to \infty} log(10 + n) / {n^\alpha} = \infty$ per ogni $\alpha > 0$ e quindi in particolare per $0 < \alpha < 1$ (questo spero che tu lo sappia, sennò chiedi), questo significa che definitivamente (cioè a partire da un certo $n_0$ in poi) $log(10 + n) \leq n$, ma poiché le due funzioni $log(10 + x)$ e $x$ sono continue (e positive) su $[0 , n_0]$, ammettono massimo su tale intervallo.
Dunque
$log(10 + n) \leq c = \max_{[0, n_0]} log(10 + n)$ per $1 \leq n \leq n_0$
e
$log(10 + n) \leq n^\alpha$ per $n \geq n_0$
Sommando le due stime ottieni la maggiorazione che ti dicevo.
Se $alpha$ generico ti confonde prendi $1/2$!
io quando utilizzo il criterio del confronto faccio:
log(10+n)/n^2>1/n^2
so che 1/n^2 converge(serie armonica generalizzata con p>1) xo in questo caso la serie è minore di una che converge,non posso dire nulla!!:(:(
log(10+n)/n^2>1/n^2
so che 1/n^2 converge(serie armonica generalizzata con p>1) xo in questo caso la serie è minore di una che converge,non posso dire nulla!!:(:(
c'è nessuno???qualcuno che mi aiuta...grazie infinite 
"stella89":
io quando utilizzo il criterio del confronto faccio:
log(10+n)/n^2>1/n^2
so che 1/n^2 converge(serie armonica generalizzata con p>1) xo in questo caso la serie è minore di una che converge,non posso dire nulla!!:(:(
ti ho risposto prima su com trattare questa serie..
ma io il criterio di condensazione non l'ho studiato...ho fatto solo quello del rapporto degli infinitesimi e del confronto...:S
Detta $s_n$ la somma parziale dei primi n termini della serie si ha:
$AAn in NN$ $ s_(2n)-s_(n)=(lg(n+10))/n^2+...+(lg(2n+10))/(2n)^2<=(nlg(2n+10))/n^2 = (lg(2n+10))/n to 0$ per $n to +oo$
Quindi la serie converge.
$AAn in NN$ $ s_(2n)-s_(n)=(lg(n+10))/n^2+...+(lg(2n+10))/(2n)^2<=(nlg(2n+10))/n^2 = (lg(2n+10))/n to 0$ per $n to +oo$
Quindi la serie converge.
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