Studiare carattere di questa serie
Ciao ragazzi come al solito mi ritrovo a chiedervi una mano per studiare il carattere di questa serie:
$sum_{n=1}^{oo}(1/(n*e^(nx)))$
vorrei provare a studiarne il carattere con il criterio del rapporto voi mi potreste spiegare come fare io sono solo riuscito ad applicare la formula:
$lim_{x->oo}(1/((n+1)e^((n+1)x)))/(1/(n*e^(nx)))$
dopo come proseguo?
$sum_{n=1}^{oo}(1/(n*e^(nx)))$
vorrei provare a studiarne il carattere con il criterio del rapporto voi mi potreste spiegare come fare io sono solo riuscito ad applicare la formula:
$lim_{x->oo}(1/((n+1)e^((n+1)x)))/(1/(n*e^(nx)))$
dopo come proseguo?
Risposte
allora con calma 
io ho una regola del confronto asintotico secondo la quale, se il limite che ottengo facendo an/bn è diverso da 0 e bn è divergente anche la mia serie an è divergente.. quindi io posso provare nel mio caso la divergenza di an con x=0 ed x<0. Ma visto che per x>0 ottengo come risultato del limite 0, come faccio a dire che converge?
io ho una regola del confronto asintotico secondo la quale, se il limite che ottengo facendo an/bn è diverso da 0 e bn è divergente anche la mia serie an è divergente.. quindi io posso provare nel mio caso la divergenza di an con x=0 ed x<0. Ma visto che per x>0 ottengo come risultato del limite 0, come faccio a dire che converge?
la regola ke hai menzionato tu è certamente ovvia: se si intende confrontare una qualsiasi funzione f(x) con g(x) tali ke f(x)
$sum_{n=1}^{oo}(1/(n*e^(nx)))$=$sum_{n=1}^{oo}(e^(-nx)/n)$
Per x=0 come hai detto diverge.
Per x<0 hai che $e^(-nx)$ ha a esponente una quantità positiva, quindi va a infinito molto più velocemente di qualunque pontenza di n , per cui $lim_{n->oo}e^(-nx)/n=+oo$. Non è perciò rispettata la condizione necessaria per la convergenza (l'essere infinitesimo del termine generico), e dunque la serie diverge. Se facevi il confronto asintotico in questo caso non potevi dire niente. Infatti $lim_{n->oo}(n*e^(-nx))/n=lim_{n->oo}e^(-nx)=+oo$, e quindi in base al criterio del rapporto non puoi dire nulla, in quanto per dire qualunque cosa sfruttando questo criterio il limite deve essere finito. Ripassa la teoria. Ti ho spiegato invece per quale motivo diverge.
Il caso x>0 non lo affronti con il confronto asintotico con $1/n$, in quanto il limite farebbe $0$, ma puoi farlo benissimo con $1/n^2$, mica sei obbligato a usare $1/n$. Cosai facendo hai che $lim_{n->oo}n^2/(n*e^(nx))=lim_{n->oo}n/e^(nx)=0$, in quanto stavolta $nx>0$ e di conseguenza il denominatore di quel rapporto andrà a infinito molto più velocemente di $n$ (è un 'esponenziale), quindi il limite fa $0
Per x=0 come hai detto diverge.
Per x<0 hai che $e^(-nx)$ ha a esponente una quantità positiva, quindi va a infinito molto più velocemente di qualunque pontenza di n , per cui $lim_{n->oo}e^(-nx)/n=+oo$. Non è perciò rispettata la condizione necessaria per la convergenza (l'essere infinitesimo del termine generico), e dunque la serie diverge. Se facevi il confronto asintotico in questo caso non potevi dire niente. Infatti $lim_{n->oo}(n*e^(-nx))/n=lim_{n->oo}e^(-nx)=+oo$, e quindi in base al criterio del rapporto non puoi dire nulla, in quanto per dire qualunque cosa sfruttando questo criterio il limite deve essere finito. Ripassa la teoria. Ti ho spiegato invece per quale motivo diverge.
Il caso x>0 non lo affronti con il confronto asintotico con $1/n$, in quanto il limite farebbe $0$, ma puoi farlo benissimo con $1/n^2$, mica sei obbligato a usare $1/n$. Cosai facendo hai che $lim_{n->oo}n^2/(n*e^(nx))=lim_{n->oo}n/e^(nx)=0$, in quanto stavolta $nx>0$ e di conseguenza il denominatore di quel rapporto andrà a infinito molto più velocemente di $n$ (è un 'esponenziale), quindi il limite fa $0
allora io per il criterio del confronto asintotico sul mio libro ho scritto questo: date due serie a termini non negativi an e bn:
se bn converge e il lim di an/bn < +oo allora an converge;
se bn diverge ed il lim di an/bn $!=$ 0 allora an diverge;
i limiti tendono tutti a +oo
ora se io per per x<0 provo a fare il confronto asintotico con 1/n ottengo che la serie tende a più infinito giusto? quindi la serie diverge giusto? Con il confronto asintotico non posso provare nulla per x>0 se la confronto con 1/n perchè il risultato del limite sarebbe 0 giusto?
se bn converge e il lim di an/bn < +oo allora an converge;
se bn diverge ed il lim di an/bn $!=$ 0 allora an diverge;
i limiti tendono tutti a +oo
ora se io per per x<0 provo a fare il confronto asintotico con 1/n ottengo che la serie tende a più infinito giusto? quindi la serie diverge giusto? Con il confronto asintotico non posso provare nulla per x>0 se la confronto con 1/n perchè il risultato del limite sarebbe 0 giusto?
perdonami.. avevo letto solo "confronto", senza "asintotico"! 
allora ciò ke dici tu è corretto: l'asintoticità con $1/n$ si stabilisce solo per x<0 poiké il limite viene finito, mentre per x>0 non puoi dire nulla in quanto bn non potrà mai divergere ($lim_{n \to \infty}1/n=0$)! quindi mi sa ke per x>0 dovrai scegliere un'altra strada. se provi col confronto normale noterai ke, giakké $e^(nx)$ è certamente maggiore di $n$, i loro rispettivi rapporti avranno verso opposto ($1/(e^(nx))<1/n$). quindi, dato ke la seconda converge, deve convergere necessariamente anke la prima. in conclusione avrai ke la serie converge sia per x<0 ke per x>0. tutto kiaro?
allora ciò ke dici tu è corretto: l'asintoticità con $1/n$ si stabilisce solo per x<0 poiké il limite viene finito, mentre per x>0 non puoi dire nulla in quanto bn non potrà mai divergere ($lim_{n \to \infty}1/n=0$)! quindi mi sa ke per x>0 dovrai scegliere un'altra strada. se provi col confronto normale noterai ke, giakké $e^(nx)$ è certamente maggiore di $n$, i loro rispettivi rapporti avranno verso opposto ($1/(e^(nx))<1/n$). quindi, dato ke la seconda converge, deve convergere necessariamente anke la prima. in conclusione avrai ke la serie converge sia per x<0 ke per x>0. tutto kiaro?
ora penso proprio che sia tutto chiaro.. quindi ricapitolando per il confronto asintotico..se bn diverge il limite deve essere solo diverso da 0 può anche essere infinito giusto? Non deve essere necessariamente finito.. Mentre per il criterio del rapporto il limite deve essere necessariamente finito? io purtroppo sul mio libro ho solo scritto maggiore oppure minore di uno (a differenza dei casi) ma non mi dice nulla circa infinito o altro..
per il confronto asintotico ci sei, ma non hai ancora ben kiara l'idea di maggiorante e minorante. parliamo con i numeri: se 3>2, $1/3<1/2$ ($1/3=0,33(3); 1/2=0,5$), quindi definiamo $1/2$ maggiorante di $1/3$. se hai queste idee sempici in testa puoi confrontare ciò ke preferisci.
ok perfetto.. fino ad ora ho capito un sacco di cose che prima d'ora nn sapevo nemmeno e per questo ringrazzio tutti.. solo che ogni volta che tento di fare un'altra serie mi incasino... ora sto cercando di fare questa:
$sum_{n=1}^{+oo}sqrtn/((n+1)e^(nx))$
con x=0 il limite della serie dovrebbe essere uguale al limite di $sqrtn(x+1)$ che applicando il confronto asintotico con 1/n dovrebbe avere limite uguale a +oo e quindi divergente giusto?
ora però non so che metodo applicare con x>0 o con x<0... datemi qualche idea..
$sum_{n=1}^{+oo}sqrtn/((n+1)e^(nx))$
con x=0 il limite della serie dovrebbe essere uguale al limite di $sqrtn(x+1)$ che applicando il confronto asintotico con 1/n dovrebbe avere limite uguale a +oo e quindi divergente giusto?
ora però non so che metodo applicare con x>0 o con x<0... datemi qualche idea..
sbagliato. se la tua intenzione è di confrontare asintoticamente con $1/n$ (ke converge) allora $lim_{n \to \infty}(n*sqrt(n))/((n+1)*e^(nx))$ deve essere finito, non infinito (infatti viene 0), quindi la serie converge correttamente. per x<0 puoi provare col rapporto... non saprei se viene.
"jaskate":
sbagliato. se la tua intenzione è di confrontare asintoticamente con $1/n$ (ke converge)
Questo è falso. La serie di $1/n$ è notoriamente divergente. Sarà stato un errore di battitura.
Per rispondere a axl1986: Se $x=0$ si fa come dici te, fai il confronto asintotico con $1/n$, il limite viene $oo$, quindi $sum 1/n$ diverge $=>$ $sum sqrt(n)/(n+1)$ diverge.
Io personalmente mi trovo molto meglio a fare semplici minorazioni, invece che confronti asintotici, specie nei casi semplici come questi. Hai che $sqrt(n)/(n+1)>1/(n+1)$, quindi la tua serie sta "sopra" a una divergente, $1/(N+1)$, e quindi diverge.
Se $x<0$ la tua serie è $sum (sqrt(n)e^(-nx))/(n+1)$, e $e^(-nx)$ ha ad esponente una quantità positiva (quante volte l'ho scritta questa frase?:-)), quindi il termine generico non è infinitesimo, e quindi non è rispettata la condizione necessaria per la convergenza. Cioè la serie diverge.
Se $x>0$ la tua serie è $sum sqrt(n)/((e^(nx)*(n+1))$, puoi fare un confronto asintotico con $1/n^2$: $lim_{n->oo} (sqrt(n)*n^2)/((n+1)*(e^(nx)))=0$, e quindi poichè $1/n^2$ converge converge anche la tua. In generale quando hai una serie con un esponenziale a denominatore, con esponente maggiore di $0$, (che è il nostro caso con $x>0$) e a numeratore no, la serie converge (e anche molto velocemente).
P.S. nel mio post precendete avevo sbagliato nel dire che se il limite era $oo$ col conronto asintotico non si poteva dire niente. Se è $oo$ e la serie $b_n$ nel rapporto $a_n/b_n$ diverge, allora anche $a_n$ diverge. I'm sorry...
Questo è falso. La serie di $1/n$ è notoriamente divergente. Sarà stato un errore di battitura.
sì alvinlee, hai ragione.. intendevo dire ke la serie diverge poiké è armonica ma il limite va sempre a 0.. domando scusa
"alvinlee88":
[quote="jaskate"]sbagliato. se la tua intenzione è di confrontare asintoticamente con $1/n$ (ke converge)
Questo è falso. La serie di $1/n$ è notoriamente divergente. Sarà stato un errore di battitura.
Per rispondere a axl1986: Se $x=0$ si fa come dici te, fai il confronto asintotico con $1/n$, il limite viene $oo$, quindi $sum 1/n$ diverge $=>$ $sum sqrt(n)/(n+1)$ diverge.
Io personalmente mi trovo molto meglio a fare semplici minorazioni, invece che confronti asintotici, specie nei casi semplici come questi. Hai che $sqrt(n)/(n+1)>1/(n+1)$, quindi la tua serie sta "sopra" a una divergente, $1/(N+1)$, e quindi diverge.
Se $x<0$ la tua serie è $sum (sqrt(n)e^(-nx))/(n+1)$, e $e^(-nx)$ ha ad esponente una quantità positiva (quante volte l'ho scritta questa frase?:-)), quindi il termine generico non è infinitesimo, e quindi non è rispettata la condizione necessaria per la convergenza. Cioè la serie diverge.
Se $x>0$ la tua serie è $sum sqrt(n)/((e^(nx)*(n+1))$, puoi fare un confronto asintotico con $1/n^2$: $lim_{n->oo} (sqrt(n)*n^2)/((n+1)*(e^(nx)))=0$, e quindi poichè $1/n^2$ converge converge anche la tua. In generale quando hai una serie con un esponenziale a denominatore, con esponente maggiore di $0$, (che è il nostro caso con $x>0$) e a numeratore no, la serie converge (e anche molto velocemente).
P.S. nel mio post precendete avevo sbagliato nel dire che se il limite era $oo$ col conronto asintotico non si poteva dire niente. Se è $oo$ e la serie $b_n$ nel rapporto $a_n/b_n$ diverge, allora anche $a_n$ diverge. I'm sorry...[/quote]
ok grazie mille cercherò di ricordare.. cmq ora va moolto meglio rispetto a prima.. spero di non dover più postare per le serie
ora però cerco di farne altre.. vedremo..
vabbè nn ho resistito molto cmq ho svolto sta serie.. ditemi se ho sbagliato
$sum_{n=1}^{+oo}(|x|^n/(n+1))$
se x=0 la serie è divergente giusto? perchè facendo il confronto asintotico con 1/n il limite è 1 giusto?
mentre con x diversa da 0 ho applicato il rapporto e con una serie di semplificazioni sono arrivato a concludere che il limite della serie col rapporto applicato è uguale al limite di |x|^n che diverge corretto??
cmq ho svolto sta serie.. ditemi se ho sbagliato $sum_{n=1}^{+oo}(|x|^n/(n+1))$
se x=0 la serie è divergente giusto? perchè facendo il confronto asintotico con 1/n il limite è 1 giusto?
mentre con x diversa da 0 ho applicato il rapporto e con una serie di semplificazioni sono arrivato a concludere che il limite della serie col rapporto applicato è uguale al limite di |x|^n che diverge corretto??
"axl_1986":
vabbè nn ho resistito molto
$sum_{n=1}^{+oo}(|x|^n/(n+1))$
se x=0 la serie è divergente giusto? perchè facendo il confronto asintotico con 1/n il limite è 1 giusto?
mentre con x diversa da 0 ho applicato il rapporto e con una serie di semplificazioni sono arrivato a concludere che il limite della serie col rapporto applicato è uguale al limite di |x|^n che diverge corretto??
AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAARGH!!! (Urlo di dolore dell'Analisi Matematica...)
Per $x=0$ gli addendi sono tutti nulli!
Come fa la serie a divergere???
Per $x!=0$ basta applicare bene il criterio del rapporto.
vorrei sapere come ti sia venuto 1 il limite confrontando con $1/n$! d'altronde c'è un bell'esponente ke se ne va ad infinito, quindi la prima strada ke mi viene in mente è il criterio della radice (parlo al presente xkè nel frattempo lo sto facendo cn carta e penna XD). dunque.. con la radice mi sembra scomodo, dato ke mi viene una cosa del tipo $|x|/(n+1)^(1/n)$ ke ritorna un valore finito per qualsiasi x. col rapporto idem.. esce 1. devi anzitutto dare per scontato ke sia a termini positivi. con raabe è uguale, dato ke esce una forma indeterminata (al massimo la sviluppi con de l'hospital, ma io mi secco 
). dunque finalmente confrontiamo! se usi il confronto semplice devi considerare ke non esistono maggioranti per tale serie, dato ke al numeratore c'è un esponenziale ke tende ad infinito + velocemente di qualsiasi altra cosa. credo di non andare in errore proponendo un confronto con $1/(n+1)$ dikiarando la serie divergente per x>0 e oscillante per x<0. probabilmente sbaglio, ma è la prima cosa ke mi viene in mente!
). dunque finalmente confrontiamo! se usi il confronto semplice devi considerare ke non esistono maggioranti per tale serie, dato ke al numeratore c'è un esponenziale ke tende ad infinito + velocemente di qualsiasi altra cosa. credo di non andare in errore proponendo un confronto con $1/(n+1)$ dikiarando la serie divergente per x>0 e oscillante per x<0. probabilmente sbaglio, ma è la prima cosa ke mi viene in mente!
"jaskate":
vorrei sapere come ti sia venuto 1 il limite confrontando con $1/n$! d'altronde c'è un bell'esponente ke se ne va ad infinito, quindi la prima strada ke mi viene in mente è il criterio della radice (parlo al presente xkè nel frattempo lo sto facendo cn carta e penna XD). dunque.. con la radice mi sembra scomodo, dato ke mi viene una cosa del tipo $|x|/(n+1)^(1/n)$ ke ritorna un valore finito per qualsiasi x. col rapporto idem.. esce 1. [...] dunque finalmente confrontiamo! se usi il confronto semplice devi considerare ke non esistono maggioranti per tale serie, dato ke al numeratore c'è un esponenziale ke tende ad infinito + velocemente di qualsiasi altra cosa. credo di non andare in errore proponendo un confronto con $1/(n+1)$ dikiarando la serie divergente per x>0 e oscillante per x<0. probabilmente sbaglio, ma è la prima cosa ke mi viene in mente!
Ma chi scrive sa cosa si intende per criterio del rapporto o della radice?
Secondo me urge un ripassino veloce...
Ricordo a jaskate che ci sono casi di utenti bannati per cattiva Matematica e sugerimenti (pessimi) che incasinavano gli utenti meno esperti.
Prima di postare degli obbrobri come quello citato, prova almeno a far bene i conti.
siii scusaaaateeeee..con x=0 hai ragionissima..quindi è 0 ed in questo caso la serie com'è convergente?? boo.. cmq per $x!=0$ ho rifatto così:
$lim_{n->+oo}((|x|^n*|x|)/(n+2)*(n+1)/|x|^n)=lim_{n->+oo}((|x|)/(n+2)*(n+1)/1)=lim_{n->+oo}((|x|)/(n(1+2/n))*(n(1+1/n))/1)=$
che quindi è uguale a |x|.. ho sbagliato ancora? in questo caso come sarà la serie?
correzzione: ho visto sl ora che avevi giù risposto..grazie cmq per la pazienza ora vedo di ripassarmi tutti i criteri.. anche se il mio problema più grosso è quello di calcolare
$lim_{n->+oo}((|x|^n*|x|)/(n+2)*(n+1)/|x|^n)=lim_{n->+oo}((|x|)/(n+2)*(n+1)/1)=lim_{n->+oo}((|x|)/(n(1+2/n))*(n(1+1/n))/1)=$
che quindi è uguale a |x|.. ho sbagliato ancora? in questo caso come sarà la serie?
correzzione: ho visto sl ora che avevi giù risposto..grazie cmq per la pazienza ora vedo di ripassarmi tutti i criteri.. anche se il mio problema più grosso è quello di calcolare
"axl_1986":
siii scusaaaateeeee..con x=0 hai ragionissima..quindi è 0 ed in questo caso la serie com'è convergente?? boo.. cmq per $x!=0$ ho rifatto così:
$lim_{n->+oo}((|x|^n*|x|)/(n+2)*(n+1)/|x|^n)=lim_{n->+oo}((|x|)/(n+2)*(n+1)/1)=lim_{n->+oo}((|x|)/(n(1+2/n))*(n(1+1/n))/1)=$
che quindi è uguale a |x|.. ho sbagliato ancora? in questo caso come sarà la serie?
Applichiamo il criterio del rapporto alla serie $\sum |x|^n/(n+1)$: abbiamo:
$lim_n (|x|^(n+1)/(n+2))/(|x|^n/(n+1))=lim_n |x|*(n+2)/(n+1)=|x|$
e, per il suddetto criterio, la serie converge certamente se $|x|<1$ ossia per $x in ]-1,1[$ mentre diverge certamente per $|x|>1$ cioè per $x in ]-oo,-1[cup ]1,+oo[$.
Rimangono dubbi i casi $x=pm1$ i quali vanno analizzati separatamente.
Per $x=1$, la serie diventa $\sum 1/(n+1)$ che è la serie armonica privata di un addendo (quello iniziale): pertanto per $x=1$ la serie diverge positivamente.
Per $x=-1$, la serie diventa $\sum (-1)^n*1/(n+1)$ che di tipo armonico alternato e quindi convergente per il criterio di Leibniz: perciò per $x=-1$ la serie converge.
Tirando le somme $\sum |x|^n/(n+1)$ converge per $x in [-1,1[$ e diverge positivamente per $x in ]-oo,-1[cup [1,+oo[$.
Axl, il consiglio che do sia a te che a jeskate è quello di ripassare i vari criteri di convergenza per le serie a termini non negativi, perchè da quanto avete scritto si evince che non li sapete applicare.
Ricordo a jaskate che ci sono casi di utenti bannati per cattiva Matematica e sugerimenti (pessimi) che incasinavano gli utenti meno esperti.
Prima di postare degli obbrobri come quello citato, prova almeno a far bene i conti.
"gugo82":
Axl, il consiglio che do sia a te che a jeskate è quello di ripassare i vari criteri di convergenza per le serie a termini non negativi, perchè da quanto avete scritto si evince che non li sapete applicare.
modalita bacchettone on:
Concordo pienamente con gugo, noi (quando si pole) vi si aiuta volentieri, ma in queste pagine ho notato una confusione enorme sia in te che in jaskate. Ripassate tutta la teoria sullo studio delle serie (non c'è solo il confronto asintotico...), e in generale ricordate che rispondere senza aver chiaro le cose non solo non le rende più chiare allo scrivente, ma crea ancora più confusione in chi chiede.
Ci sentiamo alla prossima serie, dopo aver studiato.
modalità bacchettone off
Ciao! Sono il tuo Tutor AI, il compagno ideale per uno studio interattivo. Utilizzo il metodo maieutico per affinare il tuo ragionamento e la comprensione. Insieme possiamo:
- Risolvere un problema di matematica
- Riassumere un testo
- Tradurre una frase
- E molto altro ancora...
Il Tutor AI di Skuola.net usa un modello AI di Chat GPT.
Per termini, condizioni e privacy, visita la relativa pagina.
Per termini, condizioni e privacy, visita la relativa pagina.
Annuale
3,99€
-
Accedi a tutti gli appunti
-
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
-
Nessuna pubblicità sul sito
-
100€ di bonus su Ripetizioni.it
Trimestrale
7,99€
-
5 appunti ogni mese
-
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
-
Nessuna pubblicità sul sito
-
100€ di bonus su Ripetizioni.it
Mensile
12,79€
-
3 appunti ogni mese
-
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
-
Nessuna pubblicità sul sito
-
100€ di bonus su Ripetizioni.it