Studiare carattere di questa serie
Ciao ragazzi come al solito mi ritrovo a chiedervi una mano per studiare il carattere di questa serie:
$sum_{n=1}^{oo}(1/(n*e^(nx)))$
vorrei provare a studiarne il carattere con il criterio del rapporto voi mi potreste spiegare come fare io sono solo riuscito ad applicare la formula:
$lim_{x->oo}(1/((n+1)e^((n+1)x)))/(1/(n*e^(nx)))$
dopo come proseguo?
$sum_{n=1}^{oo}(1/(n*e^(nx)))$
vorrei provare a studiarne il carattere con il criterio del rapporto voi mi potreste spiegare come fare io sono solo riuscito ad applicare la formula:
$lim_{x->oo}(1/((n+1)e^((n+1)x)))/(1/(n*e^(nx)))$
dopo come proseguo?
Risposte
ok grazie..a quanto pare era semplice 
comunque come posso provare formalmente che la serie che ottieni tende ad 1?
comunque come posso provare formalmente che la serie che ottieni tende ad 1?
"axl_1986":
ok grazie..a quanto pare era semplice
Vorrai dire il limite.
Semplicemente raccogliendo al numeratore e al denominatore $n^2$.
uff.. io raccogliendo come dici tu ottengo questo: $n^2/(n^2(1+sqrtn +1/n))$ tu ottieni lo stesso?? da qui come fai ad ottenere 1?
$\forall n >0, \ n^2/(n^2(1+1/n +1/n^2))=1/(1+1/n +1/n^2)$
Ok?
Ok?
si hai ragione.. non lo dire a nessuno quello che scritto sopra .. anzi oscuriamo il forum grazie mille senti ma giusto per sapere ci sono metodi particolari per capire che metodo utilizzare e che serie utilizzare per il confronto??
grazie ancora a tutti coloro iscritti a questo stupendo forum!!
.. anzi oscuriamo il forum grazie mille senti ma giusto per sapere ci sono metodi particolari per capire che metodo utilizzare e che serie utilizzare per il confronto??grazie ancora a tutti coloro iscritti a questo stupendo forum!!
"axl_1986":
si hai ragione.. non lo dire a nessuno quello che scritto sopra .. anzi oscuriamo il forum
Sapessi quante cavolate scrivo io qui (e non solo qui)...
"axl_1986":
grazie mille senti ma giusto per sapere ci sono metodi particolari per capire che metodo utilizzare e che serie utilizzare per il confronto??
Onestamente a questa domanda non so risponderti, non è che sia un drago con le serie...
Non mi pare però ci siano automatismi particolari, comunque (io sono andato a occhio...). Lascio la risposta a chi ne sa più di me. 
La serie analizzata in questi ultimi post, se non sbaglio, era la stessa che avevo analizzato io nel mio primo post, nel caso $x=1$. Li ti ho spiegato perchè il limite faceva $1$. In ogni caso, è bene ribadire che è il limitea fare 1, non la serie: della serie si può solo dire che converge, non si sa a quanto (solo in rarisismi casi-serie goemetrica-si può dire a quanto converge una serie).
ho cercato di studiare il carattere di questa serie:
$sum_{n=1}^{+oo}((e^(-nx))/(n+sqrtn+2))$
facedo il confronto asintotico con $1/n$ ottengo che il limite è praticamente uguale a quello di $e^(-nx)$ giusto? Quindi la serie diverge perchè ogni limite è $!=0$
ditemi che è corretto
$sum_{n=1}^{+oo}((e^(-nx))/(n+sqrtn+2))$
facedo il confronto asintotico con $1/n$ ottengo che il limite è praticamente uguale a quello di $e^(-nx)$ giusto? Quindi la serie diverge perchè ogni limite è $!=0$
ditemi che è corretto
"axl_1986":
ho cercato di studiare il carattere di questa serie:
$sum_{n=1}^{+oo}((e^(-nx))/(n+sqrtn+2))$
facedo il confronto asintotico con $1/n$ ottengo che il limite è praticamente uguale a quello di $e^(-nx)$ giusto? Quindi la serie diverge perchè ogni limite è $!=0$
ditemi che è corretto
Ma anche no.
Evidentemente, se $x>0$, allora $((e^(-nx))/(n+sqrtn+2)) to 0$ mooolto in fretta (c'è un esponenziale al numeratore che va a zero molto velocemente) e perciò la serie è convergente per $x>0$; per $x<0$, invece, non è verificata la condizione necessaria alla convergenza e, visto che la serie è a termini positivi, essa non può far altro che divergere positivamente; per $x=0$ è verificata la condizione necessaria epperò la serie non può convergere perchè la successione degli addendi è infinitesima dello stesso ordine di $1/n$.
"Gugo82":
Ma anche no.
Che crudeltà
allora ricapitolando essendo una esponenziale se l'esponente è negativo tende a 0 molto velocemente, altrimenti tende ad infinito corretto? Non ho capito invece con x=0 cosa succede. Comunque tutte queste cose come le posso provare con un qualsiasi metodo? Ad esempio io col confronto asintotico pensavo di aver fatto tutte bene dove ho sbagliato?
Per $x=0$ al numeratore hai $1$ e la serie diventa $\sum 1/(n+sqrtn +2)$; la successione degli addendi $1/(n+sqrtn+2)$ è infinitesima (quindi è verificata la condizione necessaria alla convergenza) epperò è infinitesima dello stesso ordine della successione $1/n$: pertanto la $\sum 1/(n+sqrtn +2)$ si può minorare definitivamente con un multiplo della serie armonica (ad esempio si minora con $1/2 \sum 1/n$ per $n>1$) e perciò diverge.
Per quanto riguarda il confronto asintotico, sinceramente non ho capito come l'hai applicato...
Per quanto riguarda il confronto asintotico, sinceramente non ho capito come l'hai applicato...
no vabbè l'ho applicato male.. cmq grazie.. solo non ho capito come la minori.. con $1/2$?? no capisco puoi spiegarmi?
"axl_1986":
no vabbè l'ho applicato male.. cmq grazie.. solo non ho capito come la minori.. con $1/2$?? no capisco puoi spiegarmi?
Veramente la minoro con la serie $1/2 \sum 1/n$...
Ciò si può fare poichè, visto che $lim (1/(n+sqrtn+2))/(1/n)=1$, per la stessa definizione di limite con $epsilon=1/2$ si ha definitivamente (cioè a partire da un certo indice $nu$ in poi) $1/2=1-1/2<(1/(n+sqrtn+2))/(1/n) quad => quad 1/2*1/n<1/(n+sqrtn+2)$ e perciò $1/2 \sum 1/n < \sum1/(n+sqrtn+2)$.
Per trovare l'indice $nu$ basta risolvere in $NN$ la disequazione $1/2*1/n<1/(n+sqrtn+2)$ che è semplicissima.
"axl_1986":
ho cercato di studiare il carattere di questa serie:
$sum_{n=1}^{+oo}((e^(-nx))/(n+sqrtn+2))$
facedo il confronto asintotico con $1/n$ ottengo che il limite è praticamente uguale a quello di $e^(-nx)$ giusto? Quindi la serie diverge perchè ogni limite è $!=0$
ditemi che è corretto
$lim _{n->oo}(e^(-nx)n)/(n+sqrtn+2)=lim_{n->oo}e^(-nx)$, e fin qui avevi detto giusto, axl1986. Sbagliata è la conclusione. Il criterio del confronto asintotico dice infatti che se il limite di $a_n/b_n$ esiste finito, allora $b_n $ converge $=>$ $a_n$ converge. Se inoltre il limite è diverso da zero, vale il se e solo se, cioè le due serie hanno esattamente lo stesso comportamento. Te però ancora non puoi concludere nulla, in quanto non hai calcolato il limite, per ora. Questa serie è anche in funzione di un parametro , $x$, e sarà al variare di questo che il carattere della serie cambierà. Si tratta quindi di analizzare quanto vale $lim_{n->oo}e^(-nx)$ al variari di $x$ in $RR$. Se $x<0$, $e^(-nx)$ ha ad esponente una quantità positiva (prodotto di due negative), di conseguenza al tendere di n all'infinito $e^(-nx)$ andrà all'infinito eccome, quindi non è più rispettata la condizione necessaria per la convergenza, cioè l'essere infinitesimo del termine generico. Poi: se $x=0$ la tua serie diventa (vai a mattere al posto di x il valore 0) $sum_{n=1}^{+oo}(1/(n+sqrtn+2))$, e per confronto asintotico con $1/n$ vedi che diverge, in quanto il limite dle rapporto dlele successioni è $1$. Nota che potevi evitare di riscrivere la serie, riandando a prendere il tuo $e^(-nx)$, che per $x=0$ diventa $e^0=1$, limite finito e maggiore di zero, per cui la serie si comporta come $1/n$, ossia diverge. Se invece $x>0$ la tua serie, che si può riscrivere come $sum_{n=1}^{+oo}(1/(e^(nx)(n+sqrtn+2)))$, che è maggiorata definitivamente (cioè non appena $e^nx>n$, quindi molto presto...) da $sum_{n=1}^{+oo}(1/((n)(n+sqrtn+2)))$, serie che converge perchè va come $1/n^2$ ("andare" come vuol dire che se fai il confronto asintotico ottieni un limite finito, esattamente $1$ in questo caso). Questa è la spiegazione pseudo-rigorosa al discorso intuitivo di Gugo82, che praticamente ti ha detto che per $x>0$ la serie converge "di corsa"
bè non potevate essere più chiari..ora provo a farne qualcun'altra.. e poi vediamo che casini ho combinato
allora eccomi bello bello con una nuova serie spero di non aver fatto fesserie:
$sum_{n=1}^{+oo}(1/(n*e^(nx)))$
allora con x=0 la serie diventa $1/n$ che è notoriamente divergete giusto?
con x > 0 ho fatto così:
$1/n*e^(-nx)$ in questo modo facendo il confronto asintotico con $1/n$ ottengo che il limite è uguale a $e^(-nx)$ e che quindi sarà convergente giusto?
con x < 0 stessa storia solo che il limite sarà divergente..
spero sia giusto
$sum_{n=1}^{+oo}(1/(n*e^(nx)))$
allora con x=0 la serie diventa $1/n$ che è notoriamente divergete
giusto?con x > 0 ho fatto così:
$1/n*e^(-nx)$ in questo modo facendo il confronto asintotico con $1/n$ ottengo che il limite è uguale a $e^(-nx)$ e che quindi sarà convergente giusto?
con x < 0 stessa storia solo che il limite sarà divergente..
spero sia giusto
"axl_1986":
Ciao ragazzi come al solito mi ritrovo a chiedervi una mano per studiare il carattere di questa serie:
$sum_{n=1}^{oo}(1/(n*e^(nx)))$
vorrei provare a studiarne il carattere con il criterio del rapporto voi mi potreste spiegare come fare io sono solo riuscito ad applicare la formula:
$lim_{x->oo}(1/((n+1)e^((n+1)x)))/(1/(n*e^(nx)))$
dopo come proseguo?
ma col rapporto ti perdi! non sarebbe meglio confrontare con $1/n$ così da studiare soltanto $e^(-nx)$ al variare di x? $lim_{n \to \infty}(e^(nx))=+infty$ per x>0 e 0 per x<0, mentre nulla può dirsi (giakkè viene 1) per x=0. spero di esserti stato utile.
"axl_1986":
con x > 0 ho fatto così:
$1/n*e^(-nx)$ in questo modo facendo il confronto asintotico con $1/n$ ottengo che il limite è uguale a $e^(-nx)$ e che quindi sarà convergente giusto?
con x < 0 stessa storia solo che il limite sarà divergente..
spero sia giusto
Il problema, axl, è che ogni volta sbagli a esprimerti... In Matematica ci sono delle convenzioni di linguaggio da rispettare necessariamente, se non si vuole incorrere in errori grossolani (e nelle ire dei docenti più severi).
La frase in grassetto vuol dire che $lim_n (1/n e^(-nx))/(1/n)=e^(-nx)$ ma ciò è una fesseria bella e buona, perchè al secondo membro compare la variabile di limite (ossia $n$) che dovrebbe essere "scomparsa" dopo l'operazione di limite (ed a causa di questa): infatti il risultato di un limite non dipende in alcun modo dalla variabile di limite.
L'espressione corretta per quello che vuoi dire è $lim_n (1/n e^(-nx))/(1/n)=lim_n e^(-nx)$: tale uguaglianza significa che $lim (1/n e^(-nx))/(1/n)=\{(+oo, " se " x<0 " (con un infinito di tipo esponenziale)"),(1, " se " x=0),(0, " se " x>0 " (con uno zero di tipo esponenziale)"):}$ e su questo credo si possa essere tutti daccordo.
ok grazie.. effettivamente devo migliorare la forma di esposizione..ma praticamente è corretto vero? Cioè la serie ha il carattere che ho descritto sopra? Ma col confronto asintotico con 1/n se il risultato del limite è 0 cosa provo? Io questo non capisco.. io in generale so che se una tende a 0 allora converge mentre se tende ad infinito è divergente.. nel mio caso so che se x>0 allora la serie (o il suo limite??) tende a 0 e quindi converge.. giusto?
"axl_1986":
ok grazie.. effettivamente devo migliorare la forma di esposizione..ma praticamente è corretto vero? Cioè la serie ha il carattere che ho descritto sopra? Ma col confronto asintotico con 1/n se il risultato del limite è 0 cosa provo? Io questo non capisco.. io in generale so che se una tende a 0 allora converge mentre se tende ad infinito è divergente.. nel mio caso so che se x>0 allora la serie (o il suo limite??) tende a 0 e quindi converge.. giusto?
esatto: se tende a 0 converge, se va ad infinito diverge, mentre se vale 1 non si può definire, pertanto si tenta lo studio attraverso un altro criterio. ma nel tuo caso il confronto va benissimo.
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