Studiare carattere di questa serie
Ciao ragazzi come al solito mi ritrovo a chiedervi una mano per studiare il carattere di questa serie:
$sum_{n=1}^{oo}(1/(n*e^(nx)))$
vorrei provare a studiarne il carattere con il criterio del rapporto voi mi potreste spiegare come fare io sono solo riuscito ad applicare la formula:
$lim_{x->oo}(1/((n+1)e^((n+1)x)))/(1/(n*e^(nx)))$
dopo come proseguo?
$sum_{n=1}^{oo}(1/(n*e^(nx)))$
vorrei provare a studiarne il carattere con il criterio del rapporto voi mi potreste spiegare come fare io sono solo riuscito ad applicare la formula:
$lim_{x->oo}(1/((n+1)e^((n+1)x)))/(1/(n*e^(nx)))$
dopo come proseguo?
Risposte
"axl_1986":
Ciao ragazzi come al solito mi ritrovo a chiedervi una mano per studiare il carattere di questa serie:
$sum_{n=1}^{oo}(1/(n*e^(nx)))$
vorrei provare a studiarne il carattere con il criterio del rapporto voi mi potreste spiegare come fare io sono solo riuscito ad applicare la formula:
$lim_{x->oo}(1/((n+1)e^((n+1)x)))/(1/(n*e^(nx)))$
dopo come proseguo?
Ciao, la domanda più consona a questo esercizio sarebbe di trovare per quali valori di "x" la serie di funzioni converge.
Applicando il criterio del rapporto abbiamo:
$lim_(n->+oo) |n/((n+1)*e^x)|<1$ eseguendo il limite si ricava $e^-x<1$ condizione verificata per $x>0$.
no aspetta come sei arrivato a quella funzione di cui calcoli il limite?? per la questione delle x ci sono..poi non capisco come dalla funzione di cui calcoli il limite ottieni
$e^-x<1$ come semplifichi n ed n+1??
$e^-x<1$ come semplifichi n ed n+1??
Applicando il metodo del rapporto ottieni:
$lim_(n->+oo)|(n e^(nx))/((n+1)e^(nx)e^x)|=lim_(n->+oo)|n/(n+1)|*1/e^x$. A questo punto il limite:
$lim_(n->+oo)|n/(n+1)|=1$ e ponendo la condizione che $1*1/e^x<1$ si ottiene il risultato.
$lim_(n->+oo)|(n e^(nx))/((n+1)e^(nx)e^x)|=lim_(n->+oo)|n/(n+1)|*1/e^x$. A questo punto il limite:
$lim_(n->+oo)|n/(n+1)|=1$ e ponendo la condizione che $1*1/e^x<1$ si ottiene il risultato.
ok perfetto.. quindi come regola generale un numero elevato ad un numero negativo da un risultato inferiore ad 1?? Questo giusto per sapere.. cmq grazie..
ciao axl
senti per la tua domanda, io ti consiglio di ricordarti questa identità (che poi è proprio la definizione delle potenze con esponente intero negativo, eventualmente generalizzata ad esponenti razionali o reali)
se $a>0, x>0$ allora $a^{-x}=1/(a^x)$.
E così si vede subito: $a^{-x}<=1$ quando $a^x>=1$. Quindi (eccetera...).
senti per la tua domanda, io ti consiglio di ricordarti questa identità (che poi è proprio la definizione delle potenze con esponente intero negativo, eventualmente generalizzata ad esponenti razionali o reali)
se $a>0, x>0$ allora $a^{-x}=1/(a^x)$.
E così si vede subito: $a^{-x}<=1$ quando $a^x>=1$. Quindi (eccetera...).
grazie dissonance non potevi essere più chiaro!! Ora però ho un'altra serie tra le mani 
ecco cosa ho fatto:
$sum_{n=0}^{oo}((n+2)/(n^2+n+1)*|x|^n)$
ho applicato il criterio del rapporto ed ho ottenuto questo
$lim_{x->oo}((n+3)/(n^2+n+2)*(n^2+n+1)/(n+2)*|x|)$
è corretto??
io poi ho eseguito tutte le moltiplicazioni e per calcolare il limite mi sono servito dell'hospital, ottenendo alla fine uno. Sto procendendo bene alla fine mi ritrovo praticamente con:
$1*|x|$
quindi con x=0 la funzione converge giusto? Però se x=1?Moooolto probabilmente ho sbagliato qualcosa..forse il confronto non è il metodo adatto a questa serie..
ecco cosa ho fatto:$sum_{n=0}^{oo}((n+2)/(n^2+n+1)*|x|^n)$
ho applicato il criterio del rapporto ed ho ottenuto questo
$lim_{x->oo}((n+3)/(n^2+n+2)*(n^2+n+1)/(n+2)*|x|)$
è corretto??
io poi ho eseguito tutte le moltiplicazioni e per calcolare il limite mi sono servito dell'hospital, ottenendo alla fine uno. Sto procendendo bene alla fine mi ritrovo praticamente con:
$1*|x|$
quindi con x=0 la funzione converge giusto? Però se x=1?Moooolto probabilmente ho sbagliato qualcosa..forse il confronto non è il metodo adatto a questa serie..
"axl_1986":
$sum_{n=0}^{oo}((n+2)/(n^2+n+1)*|x|^n)$
ho applicato il criterio del rapporto ed ho ottenuto questo
$lim_{x->oo}((n+3)/(n^2+n+2)*(n^2+n+1)/(n+2)*|x|)$
è corretto??
EDIT: il limite è per n che tende a piu infinito, non per x (grazie Gugo82)
No, il limite in seguito all'applicazione del criterio del rapporto è
$lim_{n->oo}((n+3)/(n^2+3n+3)*(n^2+n+1)/(n+2)*|x|)$, ma a parte i numerini diversi la sostanza non cambia, questo limite fa proprio $|x|$, quindi la tua serie converge per $|x|<1$, ossia per $-1
Nel caso invece $x=-1$, ottieni la serie $sum_{n=0}^{oo}(n+2)/(n^2+n+1)(-1)^n$, ed essendo la successione $a_n=(n+2)/(n^2+n+1)$ positiva, decrescente e infinitesima, puoi applicare il criterio di Leibniz e concludere che la serie converge.
EDIT: spero non ci siano altre bischerate
Ciao
"axl_1986":
$lim_{x->oo}((n+3)/(n^2+n+2)*(n^2+n+1)/(n+2)*|x|)$
è corretto??
io poi ho eseguito tutte le moltiplicazioni e per calcolare il limite mi sono servito dell'hospital, ottenendo alla fine uno.
Non per rompere le uova nel paniere, ma il limite va fatto per $n to +oo$.
Inoltre, sotto il segno di limite c'è una successione: il teorema di de l'hopital non è applicabile in questi casi.
Ovviamente Gugo, nel mio post c'è sempre x che se ne va all'infinito perchè non avendo voglia di riscrivere i limiti, ho fatto copia e incolla da quelli scritti da axl1986. Ora correggo e ci faccio tendere giustamente $n$. Inoltre io ho scritto che fa $|x|$ non certo per l'hospital (mi sono scordato di scrivere, nel mio post, come giustamente hai fatto te, che l'hospital non si applica per le successioni), ma perchè c'è un rapporto di polinomi che chiaramente tende a $1$.
Giusto una curiosità: mi pare di aver letto che c'è una versione del teorema di l'Hospital per successioni
dovrebbe essere una cosa del genere
$lim_{n} (a_n)/(b_n)\ =^H\ lim_{n}(a_n-a_{n-1})/(b_n-b_{n-1})$
potrebbe essere?
dovrebbe essere una cosa del genere
$lim_{n} (a_n)/(b_n)\ =^H\ lim_{n}(a_n-a_{n-1})/(b_n-b_{n-1})$
potrebbe essere?
ok grazie a tutti per l'aiuto.. per la questione dell'hopital grazie.. pensavo si potesse fare.. ora però mi accodo anche io alla richiesta di dissonance. PS come si fa a capire che quel rapporto di polinomi tende ad 1?
ciao axl! quando si parla di limiti di successione la faccenda è questa:
formalmente non si può parlare di derivata per ovvi motivi (la $n$ non varia in un intervallo ma in $NN$).
Tuttalpiù puoi usare delle differenze finite, tipo $Deltax_{n}=x_{n+1}-x_n$. Che in effetti sono il prototipo delle derivate, faccio un esempio:
vuoi dimostrare che $1/n, n>0$ è decrescente. Allora calcoliamo $Delta(1/n)=1/(n+1)-1/n=(-1)/(n(n+1))$ che per $n>0$ è negativo. Allora $1/n$ è decrescente. Ecco perché prima parlavo di teorema di l'Hopital per successioni: $lim_n (a_n)/(b_n)=^H\ lim_n(Delta a_n)/(Delta b_n)$. (naturalmente se il limite a sinistra è una forma indeterminata [0/0] o [$\infty/\infty$]).
Detto questo, nessuno in realtà ti impedisce di studiare una successione $(x_n)_{n\inNN}$ considerando una funzione $f(t), t\in(0, +\infty)$, tale che $f(n)=x_n, \foralln\inNN$. A quel punto puoi tranquillamente dire: se $lim_{t \to \+infty}\ f(t)=l$, sicuramente $x_n\to l$ (occhio che non vale il viceversa: il limite della funzione potrebbe non esistere e quello della successione si). Nel tuo caso un modo per calcolare $lim_{n->oo}((n+3)/(n^2+n+2)*(n^2+n+1)/(n+2)*|x|)$ è quello di calcolare $lim_{t->oo}((t+3)/(t^2+t+2)*(t^2+t+1)/(t+2)*|x|)$ (attenzione a non fare casino con $x$ e $t$). Questo è un limite di funzione che non dovrebbe farti paura. (In questo caso comunque se ne poteva anche fare a meno!)
formalmente non si può parlare di derivata per ovvi motivi (la $n$ non varia in un intervallo ma in $NN$).
Tuttalpiù puoi usare delle differenze finite, tipo $Deltax_{n}=x_{n+1}-x_n$. Che in effetti sono il prototipo delle derivate, faccio un esempio:
vuoi dimostrare che $1/n, n>0$ è decrescente. Allora calcoliamo $Delta(1/n)=1/(n+1)-1/n=(-1)/(n(n+1))$ che per $n>0$ è negativo. Allora $1/n$ è decrescente. Ecco perché prima parlavo di teorema di l'Hopital per successioni: $lim_n (a_n)/(b_n)=^H\ lim_n(Delta a_n)/(Delta b_n)$. (naturalmente se il limite a sinistra è una forma indeterminata [0/0] o [$\infty/\infty$]).
Detto questo, nessuno in realtà ti impedisce di studiare una successione $(x_n)_{n\inNN}$ considerando una funzione $f(t), t\in(0, +\infty)$, tale che $f(n)=x_n, \foralln\inNN$. A quel punto puoi tranquillamente dire: se $lim_{t \to \+infty}\ f(t)=l$, sicuramente $x_n\to l$ (occhio che non vale il viceversa: il limite della funzione potrebbe non esistere e quello della successione si). Nel tuo caso un modo per calcolare $lim_{n->oo}((n+3)/(n^2+n+2)*(n^2+n+1)/(n+2)*|x|)$ è quello di calcolare $lim_{t->oo}((t+3)/(t^2+t+2)*(t^2+t+1)/(t+2)*|x|)$ (attenzione a non fare casino con $x$ e $t$). Questo è un limite di funzione che non dovrebbe farti paura. (In questo caso comunque se ne poteva anche fare a meno!)
capito grazie per la spiegazione..ora però volevo chiedervi un'altra cosa ho questa serie (già svolta):
$sum_{n=0}^{oo}((3n)/(e^n+2))$
applicando in rapporto si ha:
$(3(e^n+2))/(e^(n+1)+2)$
sui due a num e denom c'è scritto trascurabile xkè? Cioè come si fa a vedere se un numero è trascurabile o meno? In questo modo si riescono a semplificare cose che altrimenti non potrebbero semplificarsi.
a dimenticavo come si fa a vedere che la serie precedente tende ad 1??
$sum_{n=0}^{oo}((3n)/(e^n+2))$
applicando in rapporto si ha:
$(3(e^n+2))/(e^(n+1)+2)$
sui due a num e denom c'è scritto trascurabile xkè? Cioè come si fa a vedere se un numero è trascurabile o meno? In questo modo si riescono a semplificare cose che altrimenti non potrebbero semplificarsi.
a dimenticavo come si fa a vedere che la serie precedente tende ad 1??
ciao
mi pare che proprio ieri si è parlato di ordini di infinito e di infinitesimo. dai un'occhiata e puoi capire che significa "termine trascurabile".
mi pare che proprio ieri si è parlato di ordini di infinito e di infinitesimo. dai un'occhiata e puoi capire che significa "termine trascurabile".
"axl_1986":
capito grazie per la spiegazione..ora però volevo chiedervi un'altra cosa ho questa serie (già svolta):
$sum_{n=0}^{oo}((3n)/(e^n+2))$
applicando in rapporto si ha:
$(3(e^n+2))/(e^(n+1)+2)$
sui due a num e denom c'è scritto trascurabile xkè? Cioè come si fa a vedere se un numero è trascurabile o meno? In questo modo si riescono a semplificare cose che altrimenti non potrebbero semplificarsi.
a dimenticavo come si fa a vedere che la serie precedente tende ad 1??
Sii un pò più chiaro, specie per l'ultima domanda.
Comunque applicando il criterio del rapporto non ottieni quello che dici te, bensì $lim_{n->oo}(e^n+2)/(e^(n+1)+2)*(3n+3)/(3n)=lim_{n->oo}(e^n+2)/(e^(n+1)+2)*lim_{n->oo} (3n+3)/(3n)$. Ora, il secondo limite è ancora un rapporto di polinomi, e puoi intenderlo tranquillamente come restrizione di una funzione (anzi,di infinite funzioni- a $NN$) e calcolarti il $lim_{t->oo} (3t+3)/3t$ , $t in RR$, poichè se questo esiste, come ha detto dissonance, è ugale a quello della successione. Ciò non è necessario, ma se ti fa sentire meglio puoi farlo.Quando hai a che fare con un rapporto di polinomi, con la variabile che se na va a più infinito, a livello intuitivo ricordati sempre che "vince" il termine di grado massimo. In questo caso vince il termine in $t$, e quindi il tuo limite sarebbe come $lim_{t->+oo)(3t)/(3t)=1$. La motivazione è molto semplice, poichè hai che $lim_{t->+oo)(3t+3)/(3t)=lim_{t->+oo)(t(3+3/t))/(3t)=lim_{t->oo}(3t)/(3t)=1$, in quanto $3/t$ tende a zero.
Veniamo all'altro pezzo: il $2$ è trascurabile in quanto all'infinito $e^n$ è enormemente grande, mentre $2$ resta sempre $2$. Più precisamente devi fare $lim_{n->+oo)(e^n+2)/(e^(n+1)+2)=lim_{n->+oo)(e^n*(1+2/e^n))/(e^n(e+2/e^n))=1/e$, poichè $2/e^n$ tende a $0$. Questo è il significato dell'affermare $2$ è trascurabile rispetto a $e^n$, vuol dire esattamente che $2/e^n$ tende a $0$. Il tuo limite fa quindi $1/e<1$, e di conseguenza la serie converge.
L'ultima domanda non ho capito se fosse riferita a questa serie, o alla serie del mio post precedente.
grazie per le spiegazioni siete grandi.. comunque mi riferivo alla serie precedente per quanto riguarda l'ultima domanda.. ps scusate per la poca chiarezza..
eccomi con una nuova serie.. alcune le ho già fatte e credo siano corrette.. però questa non so proprio come farlaaaa aiutooo ho provato con tutti i metodi che conosco ma non riesco ad arrivare nemmeno ad un km da una soluzione..
$sum_{n=1}^{+oo}(n/(n^2+n+1))$
$sum_{n=1}^{+oo}(n/(n^2+n+1))$
"dissonance":
Giusto una curiosità: mi pare di aver letto che c'è una versione del teorema di l'Hospital per successioni
dovrebbe essere una cosa del genere
$lim_{n} (a_n)/(b_n)\ =^H\ lim_{n}(a_n-a_{n-1})/(b_n-b_{n-1})$
potrebbe essere?
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di ... es%C3%A0ro
"axl_1986":
eccomi con una nuova serie.. alcune le ho già fatte e credo siano corrette.. però questa non so proprio come farlaaaa aiutooo ho provato con tutti i metodi che conosco ma non riesco ad arrivare nemmeno ad un km da una soluzione..
$sum_{n=1}^{+oo}(n/(n^2+n+1))$
Un confronto asintotico con la serie armonica è sufficiente o è un'altra delle mie cantonate?
io c'ho provato ma non sono riuscito a fare nulla tu come pensavi di svolgerla?
$sum_{n=1}^{+oo}(n/(n^2+n+1))$
Pensavo, visto che la serie è a termini non negativi e:
$(n/(n^2+n+1))/{1/n}=n^2/(n^2+n+1)->1$,
allora la serie diverge visto che diverge la serie armonica.
Pensavo, visto che la serie è a termini non negativi e:
$(n/(n^2+n+1))/{1/n}=n^2/(n^2+n+1)->1$,
allora la serie diverge visto che diverge la serie armonica.
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