Strano risultato di un limite
Ciao a tutti, mi sono appena imbattuto in un risultato che mi lascia qualche perplessità....risolvendo un integrale ho ottenuto
$ arctan(sqrt(a^2-r^2)*tan(x)/a)|_0^(2pi)=2pi $
scusate l'ignoranza ma non dovrebbe fare $0$?
grazie in anticipo a tutti
$ arctan(sqrt(a^2-r^2)*tan(x)/a)|_0^(2pi)=2pi $
scusate l'ignoranza ma non dovrebbe fare $0$?
grazie in anticipo a tutti
Risposte
Se hai scritto tutto bene si...anche perchè $tg(2\pi)=tg(0)=0$
si ma il testo, e sono certo al 100% che non si sbaglia, fornisce il risultato che ho scritto, ovvero $2*pi$ , ad esempio facendo il calcolo con maple ottengo
$ arctan(sqrt(a^2-r^2)*tan(x)/a)|_0^(2pi)= 2pi *csgn(sqrt(a^2-r^2)/a)$
???
$ arctan(sqrt(a^2-r^2)*tan(x)/a)|_0^(2pi)= 2pi *csgn(sqrt(a^2-r^2)/a)$
???
Non so che dire allora...
Se la soluzione è quella che hai scritto allora non può essere $2\pi$ il risultato!
Se la soluzione è quella che hai scritto allora non può essere $2\pi$ il risultato!
non lo so nemmeno io perchè scrive quello come risultato ma ti posso assicurare che è esatto anche perchè risolvendo l'integrale con maple mi da la stessa cosa con l'aggiunta del segno di $sqrt(a^2-r^2)/a$ che poi manco a farlo apposta è proprio il termine che si trova insieme alla tangente nell'argomento dell'arcotangente, è come se facesse
$arctan(sqrt(a^2-r^2)*tan(x)/a)|_0^(2pi)= csgn(sqrt(a^2-r^2)/a)*arctan(tan(x))|_0^(2pi)$
ma non so che proprietà applica... :O
$arctan(sqrt(a^2-r^2)*tan(x)/a)|_0^(2pi)= csgn(sqrt(a^2-r^2)/a)*arctan(tan(x))|_0^(2pi)$
ma non so che proprietà applica... :O
Ho capito!
Beh facendo tutti i passaggi dovrebbe essere $arctan(sqrt(a^2-r^2)*(tg(2\pi))/a)-arctan(sqrt(a^2-r^2)*(tg(0))/a)=$
Ora può essere che lui ragiona in questo modo, ma è una possibilità che non mi convince più di tanto: dall'ultimo passaggio si ha $arctan(0)-arctan(0)=2\pi-0=2\pi$
Beh facendo tutti i passaggi dovrebbe essere $arctan(sqrt(a^2-r^2)*(tg(2\pi))/a)-arctan(sqrt(a^2-r^2)*(tg(0))/a)=$
Ora può essere che lui ragiona in questo modo, ma è una possibilità che non mi convince più di tanto: dall'ultimo passaggio si ha $arctan(0)-arctan(0)=2\pi-0=2\pi$
se così fosse 6 un grande! solo una cosa però come mai analizza il segno del termine $sqrt(a^2-r^2)/a$ che tra parentesi è sempre positivo ed in particolare $ 0 leq sqrt(a^2-r^2)/a leq 1 $ ? sarebbe da approfondire in maniera + chiara il tuo passaggio che è tutt'altro che banale...
p.s. non mi fa vedere cosa hai scritto a destra dell'uguale... 
"lucadileta":
p.s. non mi fa vedere cosa hai scritto a destra dell'uguale...
prova a ricaricare la pagina...
per quanto riguarda il resto cos'è che non ti è chiaro oltre all'oggetto del topic?!
ricarico e ricarico ma non va boh... cmqe la cosa che non mi è chiara lo studio del segno che fa...l'unica cosa che mi viene in mente è riguardo al dominio
p.s. per favore puoi ripostare solo la parte a destra dell'uguale che io non vedo
p.s. per favore puoi ripostare solo la parte a destra dell'uguale che io non vedo
"Lorin":
Ho capito!
Beh facendo tutti i passaggi dovrebbe essere $arctan(sqrt(a^2-r^2)*(tg(2\pi))/a)-arctan(sqrt(a^2-r^2)*(tg(0))/a)$
Ora può essere che lui ragiona in questo modo, ma è una possibilità che non mi convince più di tanto: dall'ultimo passaggio si ha $arctan(0)-arctan(0)=2\pi-0=2\pi$
dopo la prima espressione riparti direttamente da quella sotto!
ahh ok mi ingannava quell'uguale e pensavo ci fosse qualcosa dopo sorry 
, resta cmqe il fatto che secondo me c'è qualche ragionamento intermedio ma non capisco quale.....
, resta cmqe il fatto che secondo me c'è qualche ragionamento intermedio ma non capisco quale.....
guarda non saprei...parlane con il tuo docente direttamente magari!
vedrò di farlo cmqe grazie infinite!
lucadileta, potrei sapere qual è l'integrale di partenza? Perché mi suona strano il fatto che come estremi tu abbia $0$ e $2\pi$: se ci sei arrivato tramite una trasformazione di coordinate, la cosa non quadra.
ciao ciampax innanzitutto ti ringrazio per il tuo interesse, ora veniamo al dunque, ti scrivo i passaggi dell'integrale, cmqe per risponderti è stato effettuato un cambio di variabile ma ora il discorso è un pò lungo, ti dico solo che l'integrale da cui parto è esatto al 100%
$ int_(0)^(2pi) sin(x)^2/(a^2-r^2*sin(x)^2) $
il cui risultato che ho calcolato con maple è
$ -arctan(tan(x))/r^2+a*arctan(sqrt(a^2-r^2)*tan(x)/a)/(r^2*sqrt(a^2-r^2)) $
che tra $0$e $2*pi$
fornisce quanto segue
$ -(2*pi)/r^2+2*pi*(a*csgn(sqrt(a^2-r^2)/a))/(r^2*sqrt(a^2-r^2)) $
con $0<=r<=a$
è proprio il passaggio in cui sostituisce gli estremi che non capisco.... mi verrebbe da dire $0$ ma invece il risultato ottenuto con maple è confermato ed è giusto... un vero mistero per me...
$ int_(0)^(2pi) sin(x)^2/(a^2-r^2*sin(x)^2) $
il cui risultato che ho calcolato con maple è
$ -arctan(tan(x))/r^2+a*arctan(sqrt(a^2-r^2)*tan(x)/a)/(r^2*sqrt(a^2-r^2)) $
che tra $0$e $2*pi$
fornisce quanto segue
$ -(2*pi)/r^2+2*pi*(a*csgn(sqrt(a^2-r^2)/a))/(r^2*sqrt(a^2-r^2)) $
con $0<=r<=a$
è proprio il passaggio in cui sostituisce gli estremi che non capisco.... mi verrebbe da dire $0$ ma invece il risultato ottenuto con maple è confermato ed è giusto... un vero mistero per me...
"lucadileta":
$ int_(0)^(2pi) sin(x)^2/(a^2-r^2*sin(x)^2) $
Ma questo è l'integrale di partenza? Oppure è quello ottenuto già con la sostituzione? Io voglio vedere l'integrale iniziale, senza sostituzioni di sorta.
A posteriori:
\[\begin{split}\int \frac{\sin^2 x}{a^2-r^2 \sin^2 x}\ \text{d} x &= \int \frac{r^2 \sin^2 x}{r^2\ (a^2-r^2\sin^2 x)}\ \text{d} x \\ &= \int \frac{a^2+r^2 \sin^2 x-a^2}{r^2\ (a^2-r^2\sin^2 x)}\ \text{d} x \\ &=\int \left( -\frac{1}{r^2} +\frac{a^2}{r^2}\frac{1}{a^2-r^2\sin^2x}\right)\ \text{d} x \\ &= -\frac{x}{r^2} +\frac{1}{r^2}\ \int \frac{a^2}{\cos^2 x}\ \frac{\cos^2 x}{a^2-r^2 \sin^2 x}\ \text{d} x \\ &= -\frac{x}{r^2} +\frac{1}{r^2}\ \int \frac{a^2}{\cos^2 x}\ \frac{\cos^2 x}{a^2(\cos^2 x+\sin^2 x)-r^2 \sin^2 x}\ \text{d} x \\ &= -\frac{x}{r^2} +\frac{1}{r^2}\ \int \frac{a^2}{\cos^2 x}\ \frac{1}{a^2+(a^2-r^2) \tan^2 x}\ \text{d} x \\ &= -\frac{x}{r^2} +\frac{1}{r^2}\ \int \frac{1}{\cos^2 x}\ \frac{1}{1+\frac{a^2-r^2}{a^2} \tan^2 x}\ \text{d} x \\ &= -\frac{x}{r^2} +\frac{a}{r^2\sqrt{a^2-r^2}}\ \int \frac{\sqrt{a^2-r^2}}{a}\ \frac{1}{\cos^2 x}\ \frac{1}{1+\frac{a^2-r^2}{a^2} \tan^2 x}\ \text{d} x \\ &= -\frac{x}{r^2} + \frac{a}{r^2\sqrt{a^2-r^2}}\ \arctan\left( \frac{\sqrt{a^2-r^2}}{a} \tan x\right) \; .\end{split}\]
Ovviamente deve essere \(a>r\), altrimenti l'integrando non è sommabile.
\[\begin{split}\int \frac{\sin^2 x}{a^2-r^2 \sin^2 x}\ \text{d} x &= \int \frac{r^2 \sin^2 x}{r^2\ (a^2-r^2\sin^2 x)}\ \text{d} x \\ &= \int \frac{a^2+r^2 \sin^2 x-a^2}{r^2\ (a^2-r^2\sin^2 x)}\ \text{d} x \\ &=\int \left( -\frac{1}{r^2} +\frac{a^2}{r^2}\frac{1}{a^2-r^2\sin^2x}\right)\ \text{d} x \\ &= -\frac{x}{r^2} +\frac{1}{r^2}\ \int \frac{a^2}{\cos^2 x}\ \frac{\cos^2 x}{a^2-r^2 \sin^2 x}\ \text{d} x \\ &= -\frac{x}{r^2} +\frac{1}{r^2}\ \int \frac{a^2}{\cos^2 x}\ \frac{\cos^2 x}{a^2(\cos^2 x+\sin^2 x)-r^2 \sin^2 x}\ \text{d} x \\ &= -\frac{x}{r^2} +\frac{1}{r^2}\ \int \frac{a^2}{\cos^2 x}\ \frac{1}{a^2+(a^2-r^2) \tan^2 x}\ \text{d} x \\ &= -\frac{x}{r^2} +\frac{1}{r^2}\ \int \frac{1}{\cos^2 x}\ \frac{1}{1+\frac{a^2-r^2}{a^2} \tan^2 x}\ \text{d} x \\ &= -\frac{x}{r^2} +\frac{a}{r^2\sqrt{a^2-r^2}}\ \int \frac{\sqrt{a^2-r^2}}{a}\ \frac{1}{\cos^2 x}\ \frac{1}{1+\frac{a^2-r^2}{a^2} \tan^2 x}\ \text{d} x \\ &= -\frac{x}{r^2} + \frac{a}{r^2\sqrt{a^2-r^2}}\ \arctan\left( \frac{\sqrt{a^2-r^2}}{a} \tan x\right) \; .\end{split}\]
Ovviamente deve essere \(a>r\), altrimenti l'integrando non è sommabile.
ciao gugo esattamente sono questi i passaggi che poi portano al risultato che ho scritto, per l'esattezza poi $a<=r<=0$ il problema si ha nel sostituire gli estremi di integrazione
per ciampax quello è l'integrale di partenza, per giustificare gli estremi dovrei fare un disegno...
per ciampax quello è l'integrale di partenza, per giustificare gli estremi dovrei fare un disegno...
E perchè dovresti aver problemi nella sostituzione?
Ovviamente devi fare le cose per bene: insomma, ad un certo punto si moltiplica/divide per \(\cos x\), e questo si può fare solo se \(x\neq \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\); d'altra parte, poi si fa "moralmente" la sostituzione \(t=\tan x\), e quindi bisogna distinguere i vari casi a seconda della monotonia della tangente...
Insomma, è:
\[\int_0^{2\pi} f(x)\ \text{d} x=\left\{ \int_0^{\pi /2} +\int_{\pi/2}^{3\pi/2} +\int_{3\pi/2}^{2\pi}\right\} f(x)\ \text{d} x\]
e tendo a credere che si abbia:
\[\tag{1} \int_{3\pi/2}^{2\pi} f(x)\ \text{d} x = \int_0^{\pi/2} f(x)\ \text{d} x \]
\[\tag{2} \int_{\pi/2}^{3\pi/2} f(x)\ \text{d} x =2\int_0^{\pi/2} f(x)\ \text{d} x\; ,\]
cosicché:
\[\int_0^{2\pi} f(x)\ \text{d} x= 4\int_0^{\pi/2} f(x)\ \text{d} x\; ,\]
ma dovresti fare due conti per dimostrare le (1) & (2).
Ovviamente devi fare le cose per bene: insomma, ad un certo punto si moltiplica/divide per \(\cos x\), e questo si può fare solo se \(x\neq \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\); d'altra parte, poi si fa "moralmente" la sostituzione \(t=\tan x\), e quindi bisogna distinguere i vari casi a seconda della monotonia della tangente...
Insomma, è:
\[\int_0^{2\pi} f(x)\ \text{d} x=\left\{ \int_0^{\pi /2} +\int_{\pi/2}^{3\pi/2} +\int_{3\pi/2}^{2\pi}\right\} f(x)\ \text{d} x\]
e tendo a credere che si abbia:
\[\tag{1} \int_{3\pi/2}^{2\pi} f(x)\ \text{d} x = \int_0^{\pi/2} f(x)\ \text{d} x \]
\[\tag{2} \int_{\pi/2}^{3\pi/2} f(x)\ \text{d} x =2\int_0^{\pi/2} f(x)\ \text{d} x\; ,\]
cosicché:
\[\int_0^{2\pi} f(x)\ \text{d} x= 4\int_0^{\pi/2} f(x)\ \text{d} x\; ,\]
ma dovresti fare due conti per dimostrare le (1) & (2).
grazie gugo! non ci avevo proprio pensato ad una cosa del genere ora provo a verificare le 1 e 2 , ovviamente poi il risultato che devo ottenere è immediato
p.s. ho degli errori di visualizzazione sulle 1 e 2, vedo tutto sovrapposto
p.s. ho degli errori di visualizzazione sulle 1 e 2, vedo tutto sovrapposto
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo