Stime asintotiche e grafici probabili
Salve a tutti. Vorrei imparare a fare i grafici probabili utilizzando le stime asintotiche.
All'Università ho appreso le nozioni che di seguito riporto ma purtroppo i libri - mi sto esercitando con il Buzzetti e il Boella - non sono così chiari.
Vi chiedo, se potete, di aiutarmi gradualmente nell'apprendimento di questo tipo di studio di funzione e di correggermi se notate che ho commesso degli errori per evitare la formazione di lacune alla base.
Questo è lo schema mentale che tengo presente nell'approccio con un grafico probabile:
Data una funzione f(x) ne calcolo il dominio, e ne studio i limiti per x che tende ai punti "notevoli" compresi gli estremi dell'insieme di definizione.
Data la funzione f con x0 punto del suo dominio, si considera il seguente limite e si valutano i tre casi sotto riportati.
Se il limite $ lim_(x -> x0) f(x) $ vale
$ l $ (elle, numero finito) in questo caso la stima non serve perché non darebbe informazioni utili sull'andamento di f;
$ 0 $ la stima serve perché l'andamento di f nell'intorno di x0 è uguale a quello della funzione asintotica a f per x --> x0. Tuttavia f non dev'essere di ordine 1 rispetto alla funzione asintotica e non si devono prevedere oscillazioni nell'intorno di x0
$ oo $ la stima non è necessaria perché si sa già che x=x0 è asintoto verticale di f per x-->x0
Analogamente, per un intorno di $ oo $, se $ lim_(x -> oo) f(x) $ vale
$ l $ (elle, numero finito) la stima non serve perché l'andamento della funzione asintotica non sarebbe uguale a quello di nell'intorno di x0
$ oo $ la stima è utile: gli andamenti di f e della sua asintotica per x-->$ oo $ sono uguali nell'intorno di $ oo $ purché f non sia di ordine 1 rispetto alla funzione asintotica e non si prevedano infinite oscillazioni di f nell'intorno di infinito.
All'Università ho appreso le nozioni che di seguito riporto ma purtroppo i libri - mi sto esercitando con il Buzzetti e il Boella - non sono così chiari.
Vi chiedo, se potete, di aiutarmi gradualmente nell'apprendimento di questo tipo di studio di funzione e di correggermi se notate che ho commesso degli errori per evitare la formazione di lacune alla base.
Questo è lo schema mentale che tengo presente nell'approccio con un grafico probabile:
Data una funzione f(x) ne calcolo il dominio, e ne studio i limiti per x che tende ai punti "notevoli" compresi gli estremi dell'insieme di definizione.
Data la funzione f con x0 punto del suo dominio, si considera il seguente limite e si valutano i tre casi sotto riportati.
Se il limite $ lim_(x -> x0) f(x) $ vale
$ l $ (elle, numero finito) in questo caso la stima non serve perché non darebbe informazioni utili sull'andamento di f;
$ 0 $ la stima serve perché l'andamento di f nell'intorno di x0 è uguale a quello della funzione asintotica a f per x --> x0. Tuttavia f non dev'essere di ordine 1 rispetto alla funzione asintotica e non si devono prevedere oscillazioni nell'intorno di x0
$ oo $ la stima non è necessaria perché si sa già che x=x0 è asintoto verticale di f per x-->x0
Analogamente, per un intorno di $ oo $, se $ lim_(x -> oo) f(x) $ vale
$ l $ (elle, numero finito) la stima non serve perché l'andamento della funzione asintotica non sarebbe uguale a quello di nell'intorno di x0
$ oo $ la stima è utile: gli andamenti di f e della sua asintotica per x-->$ oo $ sono uguali nell'intorno di $ oo $ purché f non sia di ordine 1 rispetto alla funzione asintotica e non si prevedano infinite oscillazioni di f nell'intorno di infinito.
Risposte
Non ho capito cosa intendi quando dici che la stima serve o non serve, e quindi penso di non aver capito cosa intendi per "stima"; puoi fare degli esempi?
Certamente. Scusami anzi se non sono stato abbastanza chiaro.
Il problema è questo: ho una funzione f(x) e devo rappresentarne il grafico più probabile. Gli unici strumenti cui posso fare ricorso sono la ricerca del dominio e le stime asintotiche (quando nel post precedente parlavo di stime mi riferivo proprio alle stime asintotiche), cioè trovare delle funzioni più semplici che nell'intorno di un determinato punto abbiano lo stesso andamento della funzione data.
La stima asintotica "serve" (= è utile) quando riesce a darmi informazioni sull'andamento della funzione da rappresentare, altrimenti no.
Provo a fare un esempio:
Si consideri la funzione $ f(x) = x^2 + x $
per $ x --> 0, f(x) --> 0 $
Se quel che ho scritto nel primo post vale, ciò significa che in un intorno di 0 le due funzioni hanno lo stesso andamento. In questo caso la stima asintotica è servita, cioè è stata utile per ricondurre a al suo andamento quello di f(x) in un intorno di 0.
Il problema è questo: ho una funzione f(x) e devo rappresentarne il grafico più probabile. Gli unici strumenti cui posso fare ricorso sono la ricerca del dominio e le stime asintotiche (quando nel post precedente parlavo di stime mi riferivo proprio alle stime asintotiche), cioè trovare delle funzioni più semplici che nell'intorno di un determinato punto abbiano lo stesso andamento della funzione data.
La stima asintotica "serve" (= è utile) quando riesce a darmi informazioni sull'andamento della funzione da rappresentare, altrimenti no.
Provo a fare un esempio:
Si consideri la funzione $ f(x) = x^2 + x $
per $ x --> 0, f(x) --> 0 $
Se quel che ho scritto nel primo post vale, ciò significa che in un intorno di 0 le due funzioni hanno lo stesso andamento. In questo caso la stima asintotica è servita, cioè è stata utile per ricondurre a al suo andamento quello di f(x) in un intorno di 0.
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