Stima dell'errore del polinomio di Taylor

[JackedTux]

[*:1xfdww7m] Scrivere il resto di Lagrange $R_1(x)$ di ordine 1 di $g(x)=e^{-2x}sin(3x)$, e determinarne una stima per $x\in(0,\frac{1}{6}]$[/*:m:1xfdww7m][/list:u:1xfdww7m]

$T_1(g(x))=3x+R_1(x)$ con $R_1(x)=g''(C_x)\frac{x^2}{2}$ e $C_x\in(0,\frac{1}{6})$

$\frac{g''(C_x)}{2}=\frac{-e^{-2C_x}(5sin(3C_x)+12cos(3C_x))}{2}$

A questo punto qualsiasi valore io prenda per la $C_x$ ottengo sempre una stima che è decisamente maggiore dell'errore reale.
Ho graficato sia $g(x)=e^{-2x}sin(3x)$ che $T_1(g(x))=3x$ e l'errore maggiore si ha lontano da $x_0$ quindi in $x=\frac{1}{6}$ con differenza pari a $0.1\overline{6}$, ma qualsiasi $C_x$ io scelga, alla meglio stimo una differenza di $3.9$, alla peggio $6$, cosa sto sbagliando?

Grazie

[ingres]

Hai moltiplicato per $x^2$ ovvero come stima peggiorativa per 1/36?

[JackedTux]

"ingres":Hai moltiplicato per $x^2$ ovvero come stima peggiorativa per 1/36?

ah ok, ma quindi se scegliessi $C_x=0$ avrei:
$\|R_n(x)\| \leq \frac{1(0+12)}{2}x^2=6x^2$ e questa sarebbe la mia stima in funzione del punto da approssimare?

Cioè se guardo in $x=0$ l'errore è pari a $0$, se invece guardo in $x=1/6$ l'errore è pari a $6\frac{1}{36}=0.1\overline{6}$?

Penso di si, Grazie mille

[pilloeffe]

Ciao JackedTux,

"JackedTux":[...] ma quindi se scegliessi $C_x=0 $ [...]

Attenzione che

"JackedTux":[...] e $C_x \in (0,1/6)$

"JackedTux":Cioè se guardo in $x=0$ l'errore è pari a $0$

L'errore nullo non esiste, a meno che la funzione non sia in realtà un polinomio.

[Mephlip]

Inoltre, il teorema di Taylor con resto di Lagrange garantisce l'esistenza di un punto che rende vera quell'uguaglianza; non si ha libertà di scelta su tale punto (tra l'altro, $0 \notin \left(0,\frac{1}{6}\right)$, quindi, anche se si potesse scegliere $C_x$, non si potrebbe comunque prenderlo pari a $0$).

[JackedTux]

"pilloeffe":...

"Mephlip":...

Allora, cerco di essere più preciso, che sicuramente mi sono espresso male:


$C_x$ è un punto compreso fra $x$ e $x_0$, sappiamo solo questo.
$x_0=0$ e $x\in(0,\frac{1}{6}]$

Voglio liberarmi di $g''(C_x)$, maggiorandola con un $M$.
Se scelgo $k=0$ mi sembra che sia vero che $\|g''(C_x)\| \leq \|g''(k)\|=M$

A questo punto posso scrivere $\|R_1(x)\|=\|-e^{-2C_x}(5sin(3C_x)+12cos(3C_x))\|\frac{x^2}{2} \leq M\frac{x^2}{2}=6x^2$

Ora $x\in(0,\frac{1}{6}]$, quindi posso dire $\|R_1(\frac{1}{6})\|\leq6\frac{1}{36}$.

Così è coretto?

[pilloeffe]

"JackedTux":Così è corretto?

Sì, non capisco però molto perché

"JackedTux":Se scelgo $k=0$ mi sembra che sia vero che $|g''(C_x)|\le |g''(k)|= M$

cioè la necessità di quel $k$: avrei scritto semplicemente

$|g''(C_x)| \le |g''(x_0)| = 12 $

che è vera per $x \in (0, 1/6] $