Stima asintotica - Dubbio

[Camillo]

La stima asintotica, per $n rarr +oo $ di $ln (n! ) $ vale :

* $ln n $
oppure

*$ n*ln(n) $ ?

Io ritengo sia corretta la prima però....

Il dubbio mi è venuto studiando il carattere della serie $sum_(n=2)^ (+oo) 1/(ln(n!) $ .
Che valga la prima ipotesi o la seconda la serie diverge comunque.

P.S. mi sa che non sia fattibile alcuna stima asintotica ...

[Seneca1]

Ecco qui, forse può esserti utile: http://www.matematicamente.it/forum/limite-di-succ-con-fattoriale-t65950.html?highlight=fattoriale

[Studente Anonimo]

Beh, potresti usare Stirling: [tex]n! \sim \sqrt{2 \pi n} \cdot (n/e)^n[/tex]. Esce tipo [tex]\ln(n!) \sim n \ln(n)[/tex] no?

[Seneca1]

Non ho capito se sei riuscito o meno a testare il carattere della serie in questione; magari il tuo dubbio riguardava unicamente la stima asintotica di $log(n!)$... Comunque di seguito propongo un'idea:

Definitivamente si ha che $n * log(n) = log(n^n) >= log(n!)$.

Dunque $1/(n * log(n)) <= 1/( log(n!) )$. Si ottiene che (1) $sum 1/(n * log(n))$ è una serie minorante della serie (2) $sum 1/( log(n!) )$.

Sono serie a termini positivi, quindi vale il teorema del confronto per le serie: se (1) diverge, diverge anche (2).

La divergenza della serie $sum 1/(n * log(n))$ si può dimostrare mediante il criterio di condensazione di Cantor (o di Cauchy, a discrezione dell'autore).

Infatti, essendo $1/(n * log(n)) -> 0$ e decrescente, si può considerare la serie condensata $sum 2^n * 1/(2^n * n log(2) ) = +oo$.

[Camillo]

Grazie per le risposte

[Seneca1]

Avvisami se ti convince o se hai proceduto diversamente!