Stima asintotica
Deterimanre il carattere della serie dando una stima asintotoca del termine generico:
$\sum_{n=1}^oo 1/(1+2^n)$
Potete aiutarmi a capire come svolgere questo genere di esercizi visto che non c'è nessun esempio sul libro?
Io per il criterio del rapporto ho visto che la serie converge....Ma per stima asintotica del termine genrico non ho capito cosa intende...Dovrei forse sviluppare con Taylor la successione? Mi potete aiutare? Grazie...
!
$\sum_{n=1}^oo 1/(1+2^n)$
Potete aiutarmi a capire come svolgere questo genere di esercizi visto che non c'è nessun esempio sul libro?
Io per il criterio del rapporto ho visto che la serie converge....Ma per stima asintotica del termine genrico non ho capito cosa intende...Dovrei forse sviluppare con Taylor la successione? Mi potete aiutare? Grazie...
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Risposte
Per $n -> +oo$, $1/(1 + 2^n) \sim 1/(2^n)$. Convergendo la serie geometrica $ \sum 1/(2^n)$, converge anche la serie da cui sei partito/a.
puoi tranquillamente rifarti alla serie geometrica $r^n$ che converge quando la ragione $r$ è $|r|<1$
in questo caso è uguale a $1/2$ quindi converge
in questo caso è uguale a $1/2$ quindi converge
Grazie....ma come si fa a trovare la serie a cui rifarmi? In questo caso forse era semplice...ma se avessi qualcosa del genere
$\sum_{n=1}^oo (sqrt(n)-1)/(n^2+sqrt(n))$ ?
$\sum_{n=1}^oo (sqrt(n)-1)/(n^2+sqrt(n))$ ?
qui puoi separare il problema come somma algebrica di due serie. La serie totale converge se entrambe le serie convergono.
$\sum_{n=1}^oo (sqrt(n)-1)/(n^2+sqrt(n))$
$\sum_{n=1}^oo (sqrt(n))/(n^2+sqrt(n))$ - $\sum_{n=1}^oo (1)/(n^2+sqrt(n))$
a questo punto fai le dovute semplificazioni e ti puoi rifare alla serie armonica.
Di solito lo puoi capire per istinto. In generale trovare una serie geometrica è facile perchè compare n come esponente.
$\sum_{n=1}^oo (sqrt(n)-1)/(n^2+sqrt(n))$
$\sum_{n=1}^oo (sqrt(n))/(n^2+sqrt(n))$ - $\sum_{n=1}^oo (1)/(n^2+sqrt(n))$
a questo punto fai le dovute semplificazioni e ti puoi rifare alla serie armonica.
Di solito lo puoi capire per istinto. In generale trovare una serie geometrica è facile perchè compare n come esponente.
\[\displaystyle \frac{\sqrt{n}-1}{n^2 + \sqrt{n}} \sim_{+\infty} \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}} \] perché \[\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}-1}{n^2 + \sqrt{n}} \cdot n^{\frac{3}{2}} =\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}(1 - 1/\sqrt{n})}{\sqrt{n}(n^{\frac{3}{2}}+1)} \cdot n^{\frac{3}{2}}=1\]
@Delirium: Grazie...ho capito i passaggi...ma questo $1/n^(3/2)$ da dove lo ricavi?
@Mrs92: FAcendo come mi hai suggerito, trovo che la serie data è asintoticamente equivalente a
$\sum_{n=1}^oo 1/n^(3/2)-\sum_{n=1}^oo 1/n^2$
Siccome le due serie convergono, anche la loro differenza converge.
Ma quindi cosa sarebbe questa "stima asintotica"? Proprio quella che ho trovato? Grazie mille....
@Mrs92: FAcendo come mi hai suggerito, trovo che la serie data è asintoticamente equivalente a
$\sum_{n=1}^oo 1/n^(3/2)-\sum_{n=1}^oo 1/n^2$
Siccome le due serie convergono, anche la loro differenza converge.
Ma quindi cosa sarebbe questa "stima asintotica"? Proprio quella che ho trovato? Grazie mille....
Non ho sufficiente dimestichezza con la matematica teorica per impartirti lezioni affidabili quindi ti rimando a questo link.
http://it.wikipedia.org/wiki/Stima_asintotica
In generale, per casi più complessi ti rimando agli sviluppi asintotici soprattutto agli sviluppi notevoli che ti converrebbe imparare a memoria. Spesso sono la via (unica) per risolvere un esercizio che richiede questo tipo di semplificazioni.
http://it.wikipedia.org/wiki/Stima_asintotica
In generale, per casi più complessi ti rimando agli sviluppi asintotici soprattutto agli sviluppi notevoli che ti converrebbe imparare a memoria. Spesso sono la via (unica) per risolvere un esercizio che richiede questo tipo di semplificazioni.
"melli13":
@Delirium: Grazie...ho capito i passaggi...ma questo $1/n^(3/2)$ da dove lo ricavi?
[...]
E' sufficiente notare che il termine "dominante" a denominatore è \(\displaystyle n^{2} \), mentre quello a numeratore è \(\displaystyle \sqrt{n} \), quindi il termine generale andrà asintoticamente come \(\displaystyle \frac{\sqrt{n}}{n^{2}}=\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}} \).
@Delirium: Grazieeee....niente di più sempice...
!!!
@Mrs 92: Grazie anche a te...è il caso che io studia più teoria....!
!!!@Mrs 92: Grazie anche a te...è il caso che io studia più teoria....
!
@melli13
attenzione a una cosa però..
quando Mrs92 ha scritto
è un'operazione, che non so, io non la farei mai, perchè il mio professore di Analisi 1, ha detto che
\[\displaystyle \sum (a_n+b_n)= \sum a_n+\sum b_n \]
ha senso se quello che scrivo ha senso, per esempio non ha senso
$\sum(a_k+b_k)=\sum a_k+\sum b_k$, dove $a_k=(-1)^k$ e $b_k=(-1)^{k+1}$, se fai $a_k+b_k=(-1)^k+(-1)^{k+1}=0,\forall k$
poi possono verificarsi casi di indecisione.
Usa il criterio asintotico o altri criteri, ma non spezzare quasi mai.
attenzione a una cosa però..
quando Mrs92 ha scritto
"Mrs92":
qui puoi separare il problema come somma algebrica di due serie.
.
è un'operazione, che non so, io non la farei mai, perchè il mio professore di Analisi 1, ha detto che
\[\displaystyle \sum (a_n+b_n)= \sum a_n+\sum b_n \]
ha senso se quello che scrivo ha senso, per esempio non ha senso
$\sum(a_k+b_k)=\sum a_k+\sum b_k$, dove $a_k=(-1)^k$ e $b_k=(-1)^{k+1}$, se fai $a_k+b_k=(-1)^k+(-1)^{k+1}=0,\forall k$
poi possono verificarsi casi di indecisione.
Usa il criterio asintotico o altri criteri, ma non spezzare quasi mai.
Grazie per avermelo fatto notare....ci farò più attenzione! Forse il disocrso si può fare solo con serie a termini positivi?
Comunque mi sono già bloccata con quest'altra serie:
$\sum_{n=1}^oo 1/n^(1+1/n)$
Non riesco a trovare nessuna serie asintotica più semplice...
Infatti $\sum_{n=1}^oo 1/n^(1+1/n)$~$\sum_{n=1}^oo 1/(n^(1+1/n)+k)$ ma così mi complico la situazione no?
Comunque mi sono già bloccata con quest'altra serie:
$\sum_{n=1}^oo 1/n^(1+1/n)$
Non riesco a trovare nessuna serie asintotica più semplice...
Infatti $\sum_{n=1}^oo 1/n^(1+1/n)$~$\sum_{n=1}^oo 1/(n^(1+1/n)+k)$ ma così mi complico la situazione no?
Per le serie a termini misti esistono criteri specifici come il criterio di assoluta convergenza e il criterio di leibniz.
@Mrs92: Si grazie....li conosco...!
Forse ho risolto la serie che ho appena chiesto:
$\sum_{n=1}^oo 1/(n^(1+1/n)) = \sum_{n=1}^oo 1/(n*n^(1/n)) = \sum_{n=1}^oo n^(-1/n)/n = \sum_{n=1}^oo (e^(log(n)^(-1/n)))/n = \sum_{n=1}^oo (1/n)*e^((-log(n))/n)$~$\sum_{n=1}^oo 1/n$
Questa è la serie armonica e quindi la serie data diverge....va bene...
?
!Forse ho risolto la serie che ho appena chiesto:
$\sum_{n=1}^oo 1/(n^(1+1/n)) = \sum_{n=1}^oo 1/(n*n^(1/n)) = \sum_{n=1}^oo n^(-1/n)/n = \sum_{n=1}^oo (e^(log(n)^(-1/n)))/n = \sum_{n=1}^oo (1/n)*e^((-log(n))/n)$~$\sum_{n=1}^oo 1/n$
Questa è la serie armonica e quindi la serie data diverge....va bene...
?
"melli13":
$\sum_{n=1}^oo (1/n)*e^((-log(n))/n)$~$\sum_{n=1}^oo 1/n$
uhm mi sembra sbagliato in questo ultimo passaggio, ma prima vorrei fare una precisazione
ATTENZIONE è sbagliato scrivere questo $\sum a_n \sim \sum b_n$, me l'ha detto il professore di Analisi!
questo è esatto $a_n \sim b_n$
riguardo all'esercizio arrivati qui $\sum_{n=1}^oo (1/n)*e^((-log(n))/n)$, ok hai il termine generale chiamolo $b_n=(1/n)*e^((-log(n))/n)$
che $b_n \sim 1/n \cdot (-(\ln(n))/(n))= - (1)/(n^2\cdot \ln^{-1}(n))$
e questa è famosa serie di abel quella fatta così $\sum (1)/(n^p\cdot \ln^{q} n)$ che convege solo quando ${(p>1,\forall q\in\mathbb{R}),(p=1, q>1):}$,
qui siamo nel primo caso!
N.B.: su molti testi omettono il nome, ma si chiama serie di Abel cioè questa $\sum (1)/(n^p \cdot \ln(n)^q)$
Ah grazie...farò più attenzione..!!
Comunque non capsico perchè dici che $b_n$~$1/n*(-log(n)/n)$
Mi pare che $lim_{n \to \infty} e^(-log(n)/n)/(-log(n)/n) = -oo$ e quindi non sono asintoticamente equivalenti.
Mentre $lim_{n \to \infty} e^(-log(n)/n)/1= 1$ e quindi $e^(-log(n)/n)$~$1$
Per quello dicevo $1/n*e^(-log(n)/n)$~$1/n$
No?
!!Comunque non capsico perchè dici che $b_n$~$1/n*(-log(n)/n)$
Mi pare che $lim_{n \to \infty} e^(-log(n)/n)/(-log(n)/n) = -oo$ e quindi non sono asintoticamente equivalenti.
Mentre $lim_{n \to \infty} e^(-log(n)/n)/1= 1$ e quindi $e^(-log(n)/n)$~$1$
Per quello dicevo $1/n*e^(-log(n)/n)$~$1/n$
No?
"melli13":
Ah grazie...farò più attenzione..
Comunque non capsico perchè dici che $b_n$~$1/n*(-log(n)/n)$
Mi pare che $lim_{n \to \infty} e^(-log(n)/n)/(-log(n)/n) = -oo$ e quindi non sono asintoticamente equivalenti.
Mentre $lim_{n \to \infty} e^(-log(n)/n)/1= 1$ e quindi $e^(-log(n)/n)$~$1$
Per quello dicevo $1/n*e^(-log(n)/n)$~$1/n$
No?
mi sono dimenticato di fare aggiungere un 1, perchè lo sviluppo dell'esponenziale al primo ordine è questo
per cui qui si ha $b_n= (1/n)\cdot(1-(ln n)/(n)+o(1/n))=1/n-(\ln n)/(n^2)+o((1)/(n^2))$
ora per $n\rightarrow +\infty$... $b_n\sim 1/n$
quindi sì è come hai detto tu che diverge!..
Ah vince $1/n$, perchè $(\ln n)/(n^2)=o(1/n)$ per $n\rightarrow+\infty$
Chiedo scusa però per quanto detto prima.. grazie però x avermelo fatto notare
il caldo fa fare brutti scherzi, qui a Milano (dove sono io) è un forno!
Ok..ora ci sono...!!
Non preoccuparti...ti capisco benissimo...il caldo gioca brutti scherzi...
!!Non preoccuparti...ti capisco benissimo...il caldo gioca brutti scherzi...
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