Stabilità delle soluzioni
Ciao...
In un esercizio su un sistema di equazioni differenziali dove mi è chiesto di determinare la soluzione generale, mi viene anche chiesto di discutere la stabilità delle soluzioni stazionarie del sistema omogeneo associato... Provo a postare i risultati per verificarne la correttezza.
Il sistema in questione è: ${(x'+x+4y=e^t),(y'+3x+2y=1):}$.
Svolgo questi passaggi: $[[x'],[y']] = [[-1 -4],[-3 -2]]*[[x],[y]] = [[-x -4y],[-3x -2y]]$
${(x'=-x-4y),(y'=-3x-2y):}$ Equilibrio ${(-x-4y=0),(-3x-2y=0):} -> {(x=0),(y=0):}$
Vado quindi a studiare il tipo di equilibrio...
Chiamo la matrice sopra A, devo calcolare il $det(A-lambdaI) = [[(-1-lambda) -4],[-3 (-2-lambda)]]$.
Il determinante è $lambda^2+3lambda-10$ e gli autovalori sono rispettivamente $lambda=2$ e $lambda=-5$.
Ho quindi due autovalori reali distinti di segno opposto, ed affermo che in $O=(0,0)$ il mio equilibrio ho un punto di sella ed è instabile.
Ora quello che vorrei sapere...
1) Ho risposto correttamente alla domanda che mi è stata posta (seconda parte dell'esercizio)?
2) Il procedimento svolto è corretto o ci sono imprecisioni o passi saltati?
Grazie mille...
In un esercizio su un sistema di equazioni differenziali dove mi è chiesto di determinare la soluzione generale, mi viene anche chiesto di discutere la stabilità delle soluzioni stazionarie del sistema omogeneo associato... Provo a postare i risultati per verificarne la correttezza.
Il sistema in questione è: ${(x'+x+4y=e^t),(y'+3x+2y=1):}$.
Svolgo questi passaggi: $[[x'],[y']] = [[-1 -4],[-3 -2]]*[[x],[y]] = [[-x -4y],[-3x -2y]]$
${(x'=-x-4y),(y'=-3x-2y):}$ Equilibrio ${(-x-4y=0),(-3x-2y=0):} -> {(x=0),(y=0):}$
Vado quindi a studiare il tipo di equilibrio...
Chiamo la matrice sopra A, devo calcolare il $det(A-lambdaI) = [[(-1-lambda) -4],[-3 (-2-lambda)]]$.
Il determinante è $lambda^2+3lambda-10$ e gli autovalori sono rispettivamente $lambda=2$ e $lambda=-5$.
Ho quindi due autovalori reali distinti di segno opposto, ed affermo che in $O=(0,0)$ il mio equilibrio ho un punto di sella ed è instabile.
Ora quello che vorrei sapere...
1) Ho risposto correttamente alla domanda che mi è stata posta (seconda parte dell'esercizio)?
2) Il procedimento svolto è corretto o ci sono imprecisioni o passi saltati?
Grazie mille...
Risposte
se per punto di sella intendi punto asintoticamente stabile è tutto corretto ,
"UnKnown089":
se per punto di sella intendi punto asintoticamente stabile è tutto corretto ,
Sugli appunti e sul libro o che quando gli autovalori sono reali, distinti e di segno opposto, l'origine si dice punto di sella ed è instabile.
Quindi in conflitto con "l'asintoticamente stabile" che dici tu.
Ho quindi sbagliato io? Oppure ho iteso male?
Grazie
il procedimento è giusto non hai sbagliato credo che UnKnown089
si riferisse al fatto che quando si ha un punto di sella esiste una varietà stabile lungo quale la soluzione è stabile e corrisponde a quello con autovalore negativo.
ciao
si riferisse al fatto che quando si ha un punto di sella esiste una varietà stabile lungo quale la soluzione è stabile e corrisponde a quello con autovalore negativo.
ciao
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