Stabilire se una data funzione è limitata o meno

[qwert90]

Salve a tutti
Se io ho questa funzione: $f(x,y)= y^2(y+x)^3$

come faccio a capire se essa è limtata o no in $R^2$ ??
io credo che non sia limitata...
Ho fatto il seguente ragionamento:
Se non erro (ma è abbastanza probabile che io dica una fesseria) una funzione è limitata se il suo codominio è limitato...
vero?
questa funzione è una funzione definita in $R^2$ e a valori in $R^2$ vero?

Ora chiedo a chi è piu esperto di me:
c'è un metodo analitico per determinare se una funzione è limitata??

grazie a tutti

[adaBTTLS1]

provo a risponderti:

una funzione è limitata se il suo codominio è limitato...

OK

questa funzione è una funzione definita in $RR^2$ e a valori in $RR^2$ vero?

NO: definita in $RR^2$ e a valori in $RR$

c'è un metodo analitico per determinare se una funzione è limitata??

se c'è un metodo più generale, attendi altre risposte da chi è più esperto di me, ma intanto, se sai valutare se una una funzione da $RR$ in $RR$ è limitata oppure no, puoi sempre scegliere qualche direzione particolare e ricondurti al caso di una variabile (per essere limitata, deve esserlo lungo una qualsiasi direzione, per essere illimitata, basta che lo sia almeno lungo una direzione): che ne pensi di considerare l'asse $y$ ($x=0$) ?

[qwert90]

Beh quindi considerando l'asse $y$ cioè $x=0$ verrebbe la funzoine $f(0,y)=y^6$

che sarebbe non limitata vero?

grazie per l'aiuto

[adaBTTLS1]

prego.
sì, anche se viene $y^5$

[qwert90]

si hai ragione si... è vero.. viene $y^5$
ma quindi (toglimi una curiosità) devo provare anche altre direzioni oppure basta solo questa?
scusa se magari dico sciocchezze ( )

[adaBTTLS1]

credo di averti già risposto nel post precedente: perché sia illimitata basta una direzione.
ti rivolgo questa domanda: per verificare, in $RR$, la non limitatezza di queste due funzioni come fai? $f(x)=e^x$, $g(x)=x/(x-1)$

[qwert90]

beh la $f(x)=e^x$ è limitata anche perchè il suo codominio è $[0,\+infty[$ che è solo illimitato superiormente...
o sbaglio?' per la seconda non saprei devo sempre applicare lo stesso metodo da te suggeritomi?

[pater46]

"qwert90":beh la $f(x)=e^x$ è limitata anche perchè il suo codominio è $[0,\+infty[$ che è solo illimitato superiormente...o sbaglio?

Sbagli! Limitato vuol dire che esiste una sfera di centrata sull'origine e di un certo raggio $k$ che lo contiene. Ovviamente se non è limitato superiormente può mai esistere un intorno circolare che lo contiene?! No!

per la seconda non saprei devo sempre applicare lo stesso metodo da te suggeritomi?

Studiati la funzione. C'è un punto di discontinuità in $(1,0)$, e questo già la dice lunga. Controlla anche i limiti a + e - infinito, in generale.

[qwert90]

si è vero hai ragione ho detto una fesseria.... riproverò e vi farò sapere