Stabilire il carattere di questi due integrali impropri
Come faccio a stabilire il carattere dei seguenti integrali impropri ?
1) $ int_(0)^(1) (x^(3/2)) / (x - log(1+x)) dx $
Ho provato con il criterio del confronto, con l'integrale test, del tipo $ int_(0)^(1) 1/x^a $ con $ a = - 3/2 $ ma niente...
Ho provato con lo sviluppo di taylor per log(1+x) e poi ancora il confronto, ma nulla...
2) $ int_(2)^(+oo) (x^(1/2) / (x-1)^(1/4)) sin(1/x^2) dx $
Per questo invece ho provato sempre con il criterio del confronto con $ 1/x^(1/4) $ e con lo sviluppo di taylor di $ sin(1/x^2) $, anche se non sono sicuro di poter sviluppare il seno con taylor se il limite tende a infinito...
Aiutatemi, grazie mille a tutti.
1) $ int_(0)^(1) (x^(3/2)) / (x - log(1+x)) dx $
Ho provato con il criterio del confronto, con l'integrale test, del tipo $ int_(0)^(1) 1/x^a $ con $ a = - 3/2 $ ma niente...
Ho provato con lo sviluppo di taylor per log(1+x) e poi ancora il confronto, ma nulla...
2) $ int_(2)^(+oo) (x^(1/2) / (x-1)^(1/4)) sin(1/x^2) dx $
Per questo invece ho provato sempre con il criterio del confronto con $ 1/x^(1/4) $ e con lo sviluppo di taylor di $ sin(1/x^2) $, anche se non sono sicuro di poter sviluppare il seno con taylor se il limite tende a infinito...
Aiutatemi, grazie mille a tutti.
Risposte
Per il numero 1, l'idea di stabilire l'ordine d'infinitesimo del denominatore in [tex]$0$[/tex] usando lo sviluppo di Taylor del logaritmo era ottima; gradirei vedere dove ti sei bloccato.
Per il 2, di nuovo buona l'idea; lo sviluppo lo puoi fare perchè quando [tex]$x\to +\infty$[/tex] l'argomento del seno, cioè [tex]$\tfrac{1}{x^2}$[/tex], è infinitesimo.
Anche qui, fa' vedere un po' di passaggi.
Per il 2, di nuovo buona l'idea; lo sviluppo lo puoi fare perchè quando [tex]$x\to +\infty$[/tex] l'argomento del seno, cioè [tex]$\tfrac{1}{x^2}$[/tex], è infinitesimo.
Anche qui, fa' vedere un po' di passaggi.
Grazie mille della risposta, allora posto i passaggi che ho fatto,
la funzione integranda, sviluppando con taylor log(1+x), ottengo: $ (x^(3/2)) / (x -x +x^2/2 +o(x^2)) = (x^(3/2)) / (x^2/2 +o(x^2)) $ Ma credo che lo sviluppo del logaritmo è sbagliato, perchè ho fatto lo sviluppo di McLaurin mentre se non sbaglio dovevo fare taylor.
Per quanto riguarda il secondo integrale, con lo sviluppo del seno, diventa:
$ (x^(1/2) * (1/x^2 - 1/x^6 +o(x^6))) / ((x-1)^(1/4)) $
Anche qui, come procedo? Lo so che non sono andato molto avanti ma con gli sviluppi di taylor, non mi trovo molto bene, non so quando applicare McLaurin e quando Taylor o che valore dare agli o-piccolo, visto che la formula generale dice o-piccolo di x alla n, mentre le formule specifiche, ad esempio quella del seno, mi dice di mettere o-piccolo di x alla 2n + 2.
Ringrazio chiunque per i chiarimenti.
la funzione integranda, sviluppando con taylor log(1+x), ottengo: $ (x^(3/2)) / (x -x +x^2/2 +o(x^2)) = (x^(3/2)) / (x^2/2 +o(x^2)) $ Ma credo che lo sviluppo del logaritmo è sbagliato, perchè ho fatto lo sviluppo di McLaurin mentre se non sbaglio dovevo fare taylor.
Per quanto riguarda il secondo integrale, con lo sviluppo del seno, diventa:
$ (x^(1/2) * (1/x^2 - 1/x^6 +o(x^6))) / ((x-1)^(1/4)) $
Anche qui, come procedo? Lo so che non sono andato molto avanti ma con gli sviluppi di taylor, non mi trovo molto bene, non so quando applicare McLaurin e quando Taylor o che valore dare agli o-piccolo, visto che la formula generale dice o-piccolo di x alla n, mentre le formule specifiche, ad esempio quella del seno, mi dice di mettere o-piccolo di x alla 2n + 2.
Ringrazio chiunque per i chiarimenti.
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