Stabilire il carattere della serie
ciao ragazzi..non riesco a determinare il carattere della seguente serie a termini positivi
$\sum_(n=0)^oo\ sqrt(n+5)-sqrt(n) $
applicando il criterio degli infinitesimi ottengo che la serie diverge...svolgendo invece il limite per n che tende a infinito,la condizione necessaria è soddisfatta in quanto il limite è 0..cosa devo dedurne?
grazie!!
$\sum_(n=0)^oo\ sqrt(n+5)-sqrt(n) $
applicando il criterio degli infinitesimi ottengo che la serie diverge...svolgendo invece il limite per n che tende a infinito,la condizione necessaria è soddisfatta in quanto il limite è 0..cosa devo dedurne?
grazie!!
Risposte
"star89":
ciao ragazzi..non riesco a determinare il carattere della seguente serie a termini positivi
$\sum_(n=0)^oo\ sqrt(n+5)-sqrt(n) $
applicando il criterio degli infinitesimi ottengo che la serie diverge...svolgendo invece il limite per n che tende a infinito,la condizione necessaria è soddisfatta in quanto il limite è 0..cosa devo dedurne?
grazie!!
Che la condizione necessaria ma non sufficiente è soddisfatta ma la serie diverge. Qual è il problema?
ok..!(giustamente!!)
se invece ho una serie con un parametro $alpha$ e devo determinare per quali $alpha$ la serie converge mi conviene risolvere prima il limite e poi applicare i criteri? a cosa mi agevola il limite?...oppure non serve farlo?
se invece ho una serie con un parametro $alpha$ e devo determinare per quali $alpha$ la serie converge mi conviene risolvere prima il limite e poi applicare i criteri? a cosa mi agevola il limite?...oppure non serve farlo?
"star89":
ok..!(giustamente!!)
se invece ho una serie con un parametro $alpha$ e devo determinare per quali $alpha$ la serie converge mi conviene risolvere prima il limite e poi applicare i criteri? a cosa mi agevola il limite?...oppure non serve farlo?
In generale conviene sempre verificare la condizione necessaria per la convergenza della serie. In qualche modo potrebbe facilitarti l'esercizio.
Te ne propongo uno che mi è capitato qualche giorno fa
Studiare la serie [tex]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty n^\alpha (\cos(\frac{1}{n^2})-1)[/tex] con [tex]\alpha\ge 0[/tex].
esplicitando per quali valori di [tex]\alpha[/tex] è soddisfatta
•la condizione necessaria
•la condizione necessaria e sufficiente.
E' un esercizio caruccio
[size=75]Non sentirti in obbligo[/size]
si ci provo ..per condizione necessaria si intendei il limite...necessaria e sufficiente invece??
Tu inizia a svolgerlo, per la condizione necessaria ricordando il limite notevole:
[tex]\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2}[/tex]
[tex]\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2}[/tex]
...è per $alpha <=2$ che è soddisfatta?..però avevo usato l altro limite notevole del coseno....ho sbagliato?
No, non è corretto, mi dici quale limite hai utilizzato?
$lim x->0 (1-cos(x))/x=0$
Sì ok, ma visto che il nostro obiettivo è quello di utilizzare una successione asintoticamente equivalente a [tex]cos(\frac{1}{n^2})-1[/tex].
Ricorda che due successioni [tex]\left\{a_n\right\}_{n\in\mathbb{N}}[/tex], [tex]\left\{b_n\right\}_{n\in\mathbb{N}}[/tex] sono asintoticamente equivalenti se
[tex]\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = L\ne 0[/tex] con L finito.
In questo caso il limite che hai utilizzato tu, ti permette di concludere che [tex]cos(x)-1[/tex] è un infinitesimo di ordine superiore ad x per x che tende a 0. Scusami se ci metto tanto nel rispondere, sto facendo pace con LaTex
Ricorda che due successioni [tex]\left\{a_n\right\}_{n\in\mathbb{N}}[/tex], [tex]\left\{b_n\right\}_{n\in\mathbb{N}}[/tex] sono asintoticamente equivalenti se
[tex]\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = L\ne 0[/tex] con L finito.
In questo caso il limite che hai utilizzato tu, ti permette di concludere che [tex]cos(x)-1[/tex] è un infinitesimo di ordine superiore ad x per x che tende a 0. Scusami se ci metto tanto nel rispondere, sto facendo pace con LaTex
già già già..sto studiando una funzione contemporaneamente,quindi fai con comodo!!hihihi...ora ritorno alla serie..
quindi usiamo quel limite notevole scritto da te...per $alpha=4$ il limite non è zero..
quindi usiamo quel limite notevole scritto da te...per $alpha=4$ il limite non è zero..
Cerca di scrivermi i passaggi che fai, o almeno i ragionamenti , purtroppo non ricordo i risultati 
Per [tex]\alpha=4[/tex] il limite non è zero.
Vediamo un po' di ricapitolare quello che stiamo facendo:
•Abbiamo visto il limite notevole [tex]\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2}[/tex] dunque posso asserire che [tex]\cos(x)-1[/tex] si comporta asintoticamente come [tex]x^2[/tex] per x che tende a zero. Di conseguenza diciamo che [tex]\cos\left(\frac{1}{n}\righ)-1[/tex] si comporta asintoticamente come [tex]\displaystyle\frac{1}{n^4}[/tex] per n che tende ad infinito.
e dunque:
[tex]n^\alpha (\cos(\frac{1}{n^2})-1)[/tex] è asintotico a [tex]\displaystyle\frac{n^\alpha}{n^4} = \frac{1}{n^{4-\alpha}}[/tex]. Che facciamo ora?
, purtroppo non ricordo i risultati Per [tex]\alpha=4[/tex] il limite non è zero
.Vediamo un po' di ricapitolare quello che stiamo facendo:
•Abbiamo visto il limite notevole [tex]\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2}[/tex] dunque posso asserire che [tex]\cos(x)-1[/tex] si comporta asintoticamente come [tex]x^2[/tex] per x che tende a zero. Di conseguenza diciamo che [tex]\cos\left(\frac{1}{n}\righ)-1[/tex] si comporta asintoticamente come [tex]\displaystyle\frac{1}{n^4}[/tex] per n che tende ad infinito.
e dunque:
[tex]n^\alpha (\cos(\frac{1}{n^2})-1)[/tex] è asintotico a [tex]\displaystyle\frac{n^\alpha}{n^4} = \frac{1}{n^{4-\alpha}}[/tex]. Che facciamo ora?
non lo so....quella è una serie armonica che converge per $alpha<3$ e diverge per $alpha>=3$eravam partiti col cercare i valori di $alpha$ che verificavano la condizione necessaria.............
"star89":
:smt022 non lo so....quella è una serie armonica che converge per $alpha<3$ e diverge per $alpha>=3$
eravam partiti col cercare i valori di $alpha$ che verificavano la condizione necessaria.............
Sì, è vero... ma ci stiamo arrivando
la condizione necessaria affinchè la serie converga è:
[tex]\displaystyle \lim_{n\to \infty} n^\alpha (\cos(\frac{1}{n^2})-1)=0[/tex] giusto?
ma abbiamo visto che [tex]n^\alpha (\cos(\frac{1}{n^2})-1)[/tex] è asintotico a [tex]\frac{1}{n^{4-\alpha}}[/tex], quindi ora ci chiediamo per quali valori di [tex]\alpha[/tex] [tex]\displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n^{4-\alpha}}=0[/tex]. In questo modo troviamo gli [tex]\alpha[/tex] che soddisfano la condizione necessaria
perfect..per$alpha<=3$ quel limite è zero...peggio di socrate con platone!
ora c'è quella seconda richiesta...condizione necessaria e sufficiente affinchè la serie converga..ovvero......
ora c'è quella seconda richiesta...condizione necessaria e sufficiente affinchè la serie converga..ovvero......
"star89":
perfect..per$alpha<=3$ quel limite è zero...peggio di socrate con platone!
ora c'è quella seconda richiesta...condizione necessaria e sufficiente affinchè la serie converga..ovvero......
Chi è Socrate e chi Platone dei due? Sicura che il limite sia zero per [tex]\alpha\le3[/tex] ? E se $\alpha$ fosse 3.5?
..................$alpha<4 $ ](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Ok!! Adesso, il problema è concluso perchè la condizione necessaria e sufficiente è soddisfatta per $0<=\alpha<3$ e lo hai detto tu quando hai affermato:
$0<=\alpha<4$
La condizione necessaria e sufficiente è soddisfatta i valori di $0<=\alpha<3$ e siamo tutti felici
. Grazie per essere stata al gioco
quella è una serie armonica che converge per $\alpha<3$. Dunque la condizione necessaria affinchè la serie converga è soddisfatta per i valori
$0<=\alpha<4$
La condizione necessaria e sufficiente è soddisfatta i valori di $0<=\alpha<3$ e siamo tutti felici
. Grazie per essere stata al gioco
no no no no no..ora lo spieghi...gentilmente!
cioè la condizione necessaria era soddisfatta per$alpha<4$..ma non è detto che per questi valori la serie converga.
usando il criterio del confronto asintotico si è confrontata la nostra serie con quella armonica..ecc ecc
quindi la serie converge per $0<=alpha<3$
è cosi?
(thanks!!)
cioè la condizione necessaria era soddisfatta per$alpha<4$..ma non è detto che per questi valori la serie converga.
usando il criterio del confronto asintotico si è confrontata la nostra serie con quella armonica..ecc ecc
quindi la serie converge per $0<=alpha<3$
è cosi?
(thanks!!)
Certo che è così!
e quindi fare il limite serve...perchè risolvendolo ti agevola nel ragionamento (spero di aver capito)
Grazie per la Pazienza
Grazie per la Pazienza
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