\sqrt(|x^2-10x|) - studio di funzione

[Kashaman]

Ammetto che è abbastanza semplice come funzione, tuttavia necessito dei pareri circa la risoluzione del quesito.

Ho da studiare $f(x)=\sqrt(|x^2-10x|)$
Procedo al seguente modo.
Notiamo innanzi tutto che $Domf = RR$ e che $f \in C(RR) nn C^(\infty)(RR\\{0,10})$.
Si verifica banalmente che $lim_{x->+\infty}=lim_{x->-infty}f(x)=+\infty$. E che $f>=0 AA x \in RR$ e si ha che $f(X)=0 <=> x_1=0 , x_2=10$.
Determino $f'(x)$ al fine di determinare la monotonia di $f$.
Si ha che $f'(x)= D(|x^2-10x|)*(1/(2f(x)))=..=(x(x-10)(x-5))/f(x)^3$
Dunque risolvendo $f'(X)>=0$ stabilisco che in $]-\infty,0[ uu ]5,10[$ $f'<0$ e dunque in ivi $f$ è decrescente e ammette come punti di minimo assoluti $x_1=0 , x_2=10$ , in $]0,5[ uu ]10,+\infty[$ si ha che $f'>0$ e che quindi $f$ è crescente in tali intervalli e $x_3=5$ è punto di massimo assoluto.
Verifico ora se $f$ risulta essere derivabile in $10$ e in $0$. Ho che
$lim_{x->0^+} f'(x)=+\infty$ e $lim_{x->0^-}f'(x)=-\infty$ $=>$ 0 punto cuspidale. (vale lo stesso per 10).
Verifico se $f$ ammette asintoti obliqui.

Ho che $lim_{x->+\infty} f(x)/x = lim_{x->+\infty} \sqrt(x^2-10x)/x=${utilizzo il principio di sostituzione degli infinitesimi di ordine minore}$=lim_{x->+\infty} \sqrt(x^2)/x = lim_{x->+\infty} |x|/x = 1$ e
$lim_{x->+\infty} f(x)-x = ${razionalizzo}$=lim_{x->+\infty} (-10x)/(x\sqrt(1-10/x)+x)=-5$
Dunque $y=x-5$ è asintoto obliquo destro. Analogamente si mostra che $y=-x+5$ è asintoto obliquo sinistro.

Vi sembra tutto corretto?


Grazie mille.

*Edit :Corretta $f$

[vict85]

"Kashaman":Notiamo innanzi tutto che $Domf = RR$ e che $f \in C(RR) nn C^(\infty)(RR\\{0,10})$.

Non capisco i due punti che hai messo di non differenziabilità: in $x=0$ sia ha $f(x) = \sqrt{|0-10|} = \sqrt{10}$. Mentre per $x=10$ si ha $f(x) = \sqrt{90}$. Prova a ripensarci su.

[Kashaman]

Scusa vict! Avevo mancato una $x$ XD. La mia f è questa $f(x)=\sqrt(|x^2-10x|)$