Spline e derivabilità
Non capisco perchè tra i requisiti delle spline di grado $m$, dati $k+1$ punti reali $x_0
$S_m(x) in C^(m-1)($ $[x_0 , x_k]$ $)$
perchè la continuità delle derivate fino al grado $m-1$ ?
$S_m(x) in C^(m-1)($ $[x_0 , x_k]$ $)$
perchè la continuità delle derivate fino al grado $m-1$ ?
Risposte
Ciao zio_mangrovia,
Che io sappia non è un requisito, vengono proprio costruite così...
L'interpolazione spline è un particolare metodo di interpolazione basato sulle funzioni spline. Si tratta di uno strumento dell'analisi numerica utilizzato in molti campi applicativi (ad esempio in fisica o statistica). A differenza dell'interpolazione polinomiale, che utilizza un unico polinomio per approssimare la funzione su tutto l'intervallo di definizione, l'interpolazione spline è ottenuta suddividendo l'intervallo in più sotto-intervalli ($I_i=[x_i, x_{i+1}]$ con $i=0,...,k $) e scegliendo per ciascuno di essi un polinomio di grado $m$ (tipicamente piccolo). Verrà poi imposto che due polinomi successivi si saldino in modo liscio, cioè osservando la continuità delle prime $m-1$ derivate. La funzione che si ottiene con un procedimento di questo genere si chiama funzione spline $S_m(x)$.
Che io sappia non è un requisito, vengono proprio costruite così...
L'interpolazione spline è un particolare metodo di interpolazione basato sulle funzioni spline. Si tratta di uno strumento dell'analisi numerica utilizzato in molti campi applicativi (ad esempio in fisica o statistica). A differenza dell'interpolazione polinomiale, che utilizza un unico polinomio per approssimare la funzione su tutto l'intervallo di definizione, l'interpolazione spline è ottenuta suddividendo l'intervallo in più sotto-intervalli ($I_i=[x_i, x_{i+1}]$ con $i=0,...,k $) e scegliendo per ciascuno di essi un polinomio di grado $m$ (tipicamente piccolo). Verrà poi imposto che due polinomi successivi si saldino in modo liscio, cioè osservando la continuità delle prime $m-1$ derivate. La funzione che si ottiene con un procedimento di questo genere si chiama funzione spline $S_m(x)$.
certo, ma ragionandoci credo che quel concetto di continuità delle derivate fino al grado $m-1$ derivi dal fatto che sia necessario imporre equazioni coinvolgendo derivate prime e seconde.
P.e. nel caso delle spline cubiche le derivate prime e seconde nei punti $x_i$, se avessi $x_0, x_1, ... x_4$, dovrei imporre $p_1'(x_1)=p_2'(x_1)$ e $p_1''(x_1)=p_2''(x_1)$ queste sono solo due equazioni ma sarebbero necessarie altre.
P.e. nel caso delle spline cubiche le derivate prime e seconde nei punti $x_i$, se avessi $x_0, x_1, ... x_4$, dovrei imporre $p_1'(x_1)=p_2'(x_1)$ e $p_1''(x_1)=p_2''(x_1)$ queste sono solo due equazioni ma sarebbero necessarie altre.
Vanno imposte condizioni anche ai bordi infatti. Senza che lo scriva qui, puoi cercare "cubic spline" su google e troverai qualche esempio pratico 
Per bordi intendo i punti estremi dell'intervallo, in inglese "end points"
"feddy":
Vanno imposte condizioni anche ai bordi infatti. Senza che lo scriva qui, puoi cercare "cubic spline" su google e troverai qualche esempio pratico
certo ! ma a me interessava capire perchè la derivabilità si spinge fino a $m-1$
Se derivi m volte un polinomio di grado $m$ resti con delle costanti...
"feddy":
Se derivi m volte un polinomio di grado $m$ resti con delle costanti...
aldilà del numero di equazioni da impostare p.e. se coinvolgere i bordi della spline, cercavo di capire perchè si imponeva questa condizione e non era sufficiente solo la continuità della funzione. La risposta, correggetemi se baglio è che si devono imporre condizioni sulle derivate.
Ho visto ora il tuo messaggio, perdonami. Comunque sì
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