Spirale di Archimede

[Webster]

Non so come impostare la risoluzione del seguente problema: Potete aiutarmi?

[poncelet]

Mi sembra che la formula per la lunghezza sia:

$L=1/2*\alpha*[\theta*sqrt(1+\theta^2)+ln(\theta+sqrt(1+\theta^2))]$

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

[mod="Martino"]Avviso all'utente Webster: oltre che in questo stesso intervento sulla spirale di archimede, hai violato il regolamento (articolo 1.4) qui, qui, qui, qui e qui, come fatto notare da Alexp. Se persisterai in questo comportamento dovremo prendere provvedimenti seri.[/mod]

[Webster]

Ringrazio l'utente maxsiviero per la formula,ma mi è stato chiesto di risolvere l'esercizio basandomi su concetti di funzioni vettoriali:la mia idea è quella di effettuare una parametrizzazione dell'equazione fornita nel testo del problema per poi ricavarne l'ascissa curvilinea tramite la seguente formula $ s(t)=int_(0)^(t) ||dx/(ds)|| dy $ .Non so come impostare la parametrizzazione.

[cirasa]

Dalla simbologia che usi mi sembra scontato che si stia parlando di coordinate polari. Pertanto
[tex]\left\{ \begin{array}\ x = \rho\cos s \\ y=\rho\sin s \end{array}\left.[/tex]

Ora, [tex]s[/tex] varia fra [tex]0[/tex] e [tex]\theta[/tex] e inoltre [tex]\rho=a\,s[/tex].

Prosegui tu...

[mod="cirasa"]Sposto in Analisi.[/mod]

[edge1]

Ma non puoi usare le polari ed usare la formula della lunghezza per esse,che è facile?

[Webster]

Grazie mille a tutti!

[[e-mail]]

"maxsiviero":Mi sembra che la formula per la lunghezza sia:

$L=1/2*\alpha*[\theta*sqrt(1+\theta^2)+ln(\theta+sqrt(1+\theta^2))]$

È possibile ricavare la formula inversa? Ossia calcolare l'angolo θ percorso dal punto che disegna la spirale conoscendo la sua lunghezza.

[moccidentale]

.

[gugo82]

"[e-mail]":[quote="maxsiviero"]Mi sembra che la formula per la lunghezza sia:

$L=1/2*\alpha*[\theta*sqrt(1+\theta^2)+ln(\theta+sqrt(1+\theta^2))]$

È possibile ricavare la formula inversa? Ossia calcolare l'angolo θ percorso dal punto che disegna la spirale conoscendo la sua lunghezza.[/quote]
"Formula inversa"?
Ma siamo nella sezione di Analisi Matematica o in quella delle scuole medie???

Inoltre:

[[e-mail]]

"sellacollesella":[quote="[e-mail]"]È possibile ricavare la formula inversa?

Una formuletta chiusa non credo, ma se poni \(f(\theta)=L-\frac{\alpha}{2}\left(\theta\sqrt{1+\theta^2}+\ln\left(\theta+\sqrt{1+\theta^2}\right)\right)\) con \(\alpha>0\)
ed \(L>0\) fissati e con \(\theta=L/\alpha\) zero di 1° tentativo, puoi migliorarlo iterando \(\theta=\theta+f(\theta)/(\alpha\sqrt{1+\theta^2})\).[/quote]

Grazie, in alternativa c'è modo di effettuare il calcolo senza riferirsi alla formula della lunghezza?

[moccidentale]

.

[[e-mail]]

"sellacollesella":[quote="[e-mail]"]In alternativa, c'è modo di effettuare il calcolo senza riferirsi alla formula della lunghezza?

Dato che: \[
L(\theta)=\int_0^{\theta}\alpha\sqrt{1+t^2}\,\text{d}t
\quad\Rightarrow\quad
\begin{cases}
L'(\theta)=\alpha\sqrt{1+\theta^2}\\
L(0)=0\\
\end{cases}
\quad\Rightarrow\quad
\begin{cases}
\theta'(L)=1/(\alpha\sqrt{1+\theta(L)^2})\\
\theta(0)=0\\
\end{cases}
\] \(\theta(L)\) può essere determinata numericamente applicando il metodo di Eulero.[/quote]

Grazie, intendo dire se è per forza necessario lavorare sulla formula della lunghezza per ricavare θ o magari ci sono altri metodi che permettono di ottenere il valore dell'angolo.