Spiegazione sul polinomio di Taylor?

Jokah
Salve, sto avendo a che fare col polinomio di Taylor

PREMESSA:
Il libro di testo prima di arrivare alla formula dice così:
Il polinomio di grado 0 che approssima meglio la funzione in $f(x_0)$ è:
$T_(x0,f0)(x)= f(x_0)$ ,

e quindi possiamo scrivere: $f(x)=Tx_0,_(f0) (x)+o((x-xo)^0)$,
che deriva dalla formula della continuità con i simboli di Landau: $f(x)=f(x_o)+ o(1)$
Allora possiamo scrivere così: $f(x)=T_(x0),_(f_(0))+o(1)$

Il polinomio di primo grado che approssima meglio la funzione in $x_0$ è la retta tangente a $x_0$, ossia si può scrivere
$T_(x1),_(f1)(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$,
e allora scriveremo che:
$f(x)=T_(x1,f1)+o(x-x_0)$,
che deriva dalla formula dell'incremento finito: $f(x)-f(x_0)=f'(x_o)(x-x_0)+o(x-x_0)$

ORIGINE DEL DUBBIO:
Allora possiamo cercare un polinomio di secondo grado che approssimi la funzione in $x_0$ il cui errore sia $o(x-x_0)^2$, e il testo dice che per fare ciò deve esistere un numero a$ ∈ $$RR$ tale che

$f(x)=f(x_0)+f'(x)(x-x_0)+a(x-x_0)^2+o(x-x_0)^2$ per $x$ $to$ $x_0$,


ossia tale che $\lim_{x \to \x_0}(f(x)-f'(x_0)(x-x_0)-a(x-x_0))^2/(x-x_0)^2 = 0$

DUBBIO
Ecco che qui mi sorge il dubbio: da dove lo pesca $a(x-x_o)^2$ ? Perché inserisce proprio quel termine, e soprattutto, perché non ripete $f(x)$ prima di a, dato che poi risulta $a=f''(x_0)$ ?
Esiste una dimostrazione che non implichi l'uso del teorema fondamentale del calcolo integrale (che non ho nel programma)?

Grazie!

Risposte
anto_zoolander
Prima di tutto dobbiamo discutere determinate cose.
Per esempio: perché si dice 'IL polinomio di Taylor'? Cosa si intende per 'approssimare una funzione in un intorno di un punto del suo dominio'?

NB: userò $o(x-x_0)^n$ in luogo di $o((x-x_0))^n$ per brevità di scrittura

Intanto il polinomio di taylor di fatto ha senso solo se una volta fissato il grado del polinomio; esso è unico.

1) sia $T(x)=a_n(x-x_0)^n+...+a_1(x-x_0)+a_0$ un polinomio di grado $n$

Se $T(x)=o(x-x_0)^n, x->x_0$ allora $T(x)=0,forallx inRR$



Se $T(x)$ è un polinomio di taylor allora esso è unico.



Dunque abbiamo visto che se esiste un polinomio di questo tipo allora esso è unico.
Ora ci interessa capire che cosa si intende per 'approssima in un intorno di $x_0$ una funzione'

Supponiamo che esista un polinomio $T(x)$ come quello precedente tale che $f(x)=T(x)+o(x-x_0)^n,x->x_0$ e $A=dom(f)$

Allora $lim_(x->x_0)(f(x)-T(x))/(x-x_0)^n=0$

$forallepsilon>0existsdelta>0:0<|x-x_0| T(x)-epsilon
Infatti la profondità di questo polinomio sta proprio nel fatto che un tanto più $epsilon$ è vicino a $0$ quanto più la funzione $f$ e il polinomio $T$ tendono ad assumere gli stessi valori. Diciamo che in un intorno abbastanza piccolo di $x_0$ le due quantità tendono a confondersi, nel senso che non risulta più possibile distinguerle graficamente con semplicità.

Dunque d'ora in poi chiameremo $T_(f,x_0,n)(x)$ se esiste, IL polinomio di Taylor della funzione $f$ centrato in $x_0$ e di grado $n$ tale che;
$f(x)=T_(f,x_0,n)(x)+o(x-x_0)^n,x->x_0$

Ovviamente puoi dimostrare facilmente che esiste un solo polinomio che se esiste gode di questa proprietà rifacendoti al lemma iniziale.
Ora la nostra condizione di esistenza di un polinomio di taylor è la seguente:

Se $f$ è derivabile $n$ volte in $x_0$ allora $f(x)=sum_(k=0)^(n)f^(k)(x_0)/(k!)(x-x_0)^k+o(x-x_0)^n,x->x_0$



Dunque abbiamo mostrato che se il polinomio di taylor esiste, allora è unico e che se $f$ è derivabile almeno $n$ volte allora il polinomio esiste ed è di grado $n$

Spero di aver scritto tutto correttamente.

Jokah
Se posso, perché hai scelto $T(x)$ diverso da quello del mio libro?
(Ti ricordo che il mio libro lo sceglie come $f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+a(x-x_0)^2$. Non torna con quello che propone il mio libro?
Perché in realtà non ho proprio il tempo di ristudiarmi da capo un'altra dimostrazione, tra pochi giorni ho l'esame ed ho un programma bello corposo da esaurire...

"anto_zoolander":

Se $T(x)=o(x-x_0)^n, x->x_0$ allora $T(x)=0,forallx inRR$


Io invece sapevo che $T(x) = o(x-x_0)^n$ se $lim_(x->x_0) (T(x))/(x-x_0) = 0$ , che avviene se $x-x_0$ è molto più grande di $T(x)$ e in un intorno di $I_r(x_0)$, non $forallx inRR$

anto_zoolander
Non l'ho scelto diverso... è praticamente lo stesso polinomio, solo che lui ti mette $a$ e io metto $a_2$
Di fatto la formulazione, se ci fai caso, è equivalente.

Jokah
"anto_zoolander":
Non l'ho scelto diverso... è praticamente lo stesso polinomio, solo che lui ti mette $a$ e io metto $a_2$
Di fatto la formulazione, se ci fai caso, è equivalente.


Quello che intendo è che il mio libro pone $f(x_0)$ invece di $a$, $f'(x_0)$ invece di $a_1$ e così via... è uguale?

Inoltre nella dimostrazione non capisco come si passi da
$0=lim_(x->x_0)(f(x)-T_(f,x_0,n)(x))/(x-x_0)^n$

ad $a_n=lim_(x->x_0)((f(x)-T_(f,x_0,n-1))(x))/(x-x_0)^n$,

perché il primo deriva dal fatto che $f(x)=T(x)+o(x-x_0)$,
ma la seconda però non la capisco proprio...

donald_zeka
Senti butta via il tuo libro e affidati alla dimostrazione fatta da anto_zoolander, che è molto chiara e semplice (è per caso tratta dal testo di Trapani?)

anto_zoolander
@Vulpasir

Si esattamente, è quella che ho studiato sul suo testo :-D

dissonance
"iTz_Ovah":

ORIGINE DEL DUBBIO:
Allora possiamo cercare un polinomio di secondo grado che approssimi la funzione in $x_0$ il cui errore sia $o(x-x_0)^2$, e il testo dice che per fare ciò deve esistere un numero a$ ∈ $$RR$ tale che

$f(x)=f(x_0)+f'(x)(x-x_0)+a(x-x_0)^2+o(x-x_0)^2$ per $x$ $to$ $x_0$,


ossia tale che $\lim_{x \to \x_0}(f(x)-f'(x_0)(x-x_0)-a(x-x_0))^2/(x-x_0)^2 = 0$

DUBBIO
Ecco che qui mi sorge il dubbio: da dove lo pesca $a(x-x_o)^2$ ? Perché inserisce proprio quel termine, e soprattutto, perché non ripete $f(x)$ prima di a, dato che poi risulta $a=f''(x_0)$ ?

È una scelta arbitraria. Nel passaggio precedente hai trovato una formula con un errore della forma \(a\cdot (x-x_0)\). Allora adesso ti dici: " e se volessi un errore nella forma \(a\cdot (x-x_0)^2\)?". Nota che \(x-x_0\), nel seguito, sarà un numero piccolo, quindi \((x-x_0)^2\) è più piccolo di \((x-x_0)\).

[ot]Molti utenti su questo forum fanno come anto_zoolander: invece di rispondere ad una domanda, riscrivono tutta una lunga trattazione esponendo la propria visione personale dell'argomento, da cui poi discende una risposta alla domanda data, magari in forma indiretta. L'ho fatto tante volte anche io, e lo fanno anche personaggi importanti della matematica, stando a quanto ho potuto vedere e a quanto mi hanno raccontato. Ma è universalmente considerata una cattiva abitudine.[/ot]

axpgn
[ot]anto lo fa perché così impara ... È un metodo (suo ma non solo) per consolidare conoscenze, migliorare l'esposizione e correggere errori e magari venire a conoscenza di metodi alternativi ... :wink:[/ot]

Cordialmente, Alex

anto_zoolander
@dissonance

[ot]puó sembrare quasi arrogante, è vero, ma lo faccio con l'unica attitudine di aiutare anche un po' me stesso, come ha ben supposto Alex. 'Qualcuno' disse che spiegando agli altri si impara davvero e sono totalmente in accordo con questa affermazione.
Vuoi per ignoranza mia di non saper magari cogliere la domanda, vuoi per lacune di un certo utente, si arriva sempre ad un 'botta e risposta' interminabile.
Penso che siano la poca esperienza e lo zelo dato dalla ricerca di conferme a portare a questo.

Anche perché nulla vieta a qualcuno, come è stato fatto quì, di ignorare quanto scritto e cercare altre risposte.[/ot]

Jokah
"Vulplasir":
Senti butta via il tuo libro e affidati alla dimostrazione fatta da anto_zoolander, che è molto chiara e semplice (è per caso tratta dal testo di Trapani?)

Si tratta di "Analisi Matematica I" di Canuto e Tabacco.

dissonance
[ot]@anto: Se hai imparato qualcosa, va benissimo, non ti critico affatto. Tu stai studiando e sono d'accordo con te e con Alex che scrivere e spiegare è il miglior modo di imparare.

Piuttosto la mia critica è rivolta agli utenti *esperti*, che hanno già imparato, e che a volte preferiscono portare tutta la discussione sul proprio terreno piuttosto che sforzarsi di mettersi nel punto di vista di chi chiede. Quella è la vera cattiva abitudine.[/ot]

anto_zoolander
Non conosco questo testo :-k


@dissonance

[ot]quando si tratta di algebra lineare o algebra ho imparato a fare questo shift verso il punto di vista dell'utents diciamo.
Mentre in analisi ancora non ho imparato perché all'inizio sembra un'accozzaglia di teoria informe tutta slegata e solo 'pensando a voce alta' riesco a mettere in ordine le cose e guardarle da un punto di vista più profondo, molto spesso 'sfruttando' le domande fatte dagli utenti.[/ot]

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