Spiegazione della regola della catena
ciao ragazzi leggendo e rileggendo questo teorema non riesco a capire il risultato.. e poi non riesco a capire quando si tratta di funzioni vettoriali o funzioni scalari
allora la prima parte del teorema dice definite
$f:A in RR^n->RR$ e $g:I in RR->RR$ considerata la funzione composta $h(x)=g(f(x))$ definita in almeno in un intorno $x_0$ del suo dominio se $f$ è differenziabile in $x_0$ e $g$ è derivabile in $f(x_0)$ allora la funzione composta è differenziabile in $x_0$ e
$\gradh(x_0)=g'(f(x_0))\gradf(x_0)$
questo risultato quindi è un vettore ?? potreste formi un esempio di come si applica questo teorema
la seconda parte del teorema dice
$f:A in RR->RR^n$ e $g:I in RR^n->RR$ considerata la funzione composta $h(x)=g(f(x))$ definita in almeno in un intorno $x_0$ del suo dominio se $f$ è differenziabile in $x_0$ e $g$ è derivabile in $f(x_0)$ allora la funzione composta è differenziabile in $x_0$ e
$h'(x_0)=\gradg(f(x_0))*f'(x_0)$
ma se f è un vettore perche nella formula cè la derivata prima ?? non ci dovrebbe essere il gradiente di f anche per questo potreste farmi un esempio per capire meglio per quale motivo nascono queste due formule
allora la prima parte del teorema dice definite
$f:A in RR^n->RR$ e $g:I in RR->RR$ considerata la funzione composta $h(x)=g(f(x))$ definita in almeno in un intorno $x_0$ del suo dominio se $f$ è differenziabile in $x_0$ e $g$ è derivabile in $f(x_0)$ allora la funzione composta è differenziabile in $x_0$ e
$\gradh(x_0)=g'(f(x_0))\gradf(x_0)$
questo risultato quindi è un vettore ?? potreste formi un esempio di come si applica questo teorema
la seconda parte del teorema dice
$f:A in RR->RR^n$ e $g:I in RR^n->RR$ considerata la funzione composta $h(x)=g(f(x))$ definita in almeno in un intorno $x_0$ del suo dominio se $f$ è differenziabile in $x_0$ e $g$ è derivabile in $f(x_0)$ allora la funzione composta è differenziabile in $x_0$ e
$h'(x_0)=\gradg(f(x_0))*f'(x_0)$
ma se f è un vettore perche nella formula cè la derivata prima ?? non ci dovrebbe essere il gradiente di f anche per questo potreste farmi un esempio per capire meglio per quale motivo nascono queste due formule
Risposte
Per prima cosa enuncerei il teorema generale.
Teorema.
Sia $f:A \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m $ e $g:B \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^p $. Sia poi $x_0 \in A$, $f(x_0) \in B$ e siano $f$,$g$ differenziabili rispettivamente in $x_0$ e in $f(x_0)$. Allora la funzione composta $f \circ g$ è differenziabile in $x_0$ e vale:
\[
J_{f \circ g}(x_0)=J_g(f(x_0)) \cdot J_f(x_0)
\]
Cosa sono $f$ e $g$?
$g:I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, è una funzione dell'Analisi 1. La sua derivata in $y_0$ sarà un numero che si denota con $g'(x_0)$.
$f:A \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} $ è un campo scalare. Sappiamo che il differenziale di un campo scalare in $x_0$ è rappresentato da un vettore, detto vettore gradiente, e denotato con $\nabla f (x_0)$
Seguendo la traccia del teorema di cui sopra, avremo $J_{f \circ g}(x_0)=J_g(f(x_0)) \cdot J_f(x_0)$. Nel nostro caso, $J_g(f(x_0))=g'(f(x_0))$, e $J_f(x_0)=\nabla f(x_0)$. Le dimensioni devono essere rispettate. La funzione composta manda un vettore di $\mathbb{R}^n$ in un numero di $\mathbb{R}$, quindi $J_{f \circ g}(x_0)$ deve avere $n$ colonne e $1$ riga. Se provi a computare $g'(f(x_0))\gradf(x_0)$ vedi che è una moltiplicazione vettore per scalare, quindi la dimensione rimarrà proprio $1xxn$.
Ripetiamo il ragionamento di prima: $g$ è un campo scalare, e sappiamo che dovremo considerare il suo gradiente. $f$ invece manda un parametro da $RR$ in $RR^n$, quindi il vettore derivato sarà del tipo $(f'_1(x_0),... , f'_n(x_0))$.
Cos'è invece $f \circ g$? Questa funzione va da $RR$ in $RR$, quindi la sua derivata deve essere una derivata dell'analisi 1, un numero quindi. Infatti, seguendo il teorema, avremo:
\[
(f\circ g)'(x_0)=\nabla g(f(x_0)) \cdot f'(x_0) \Rightarrow (f\circ g)'(x_0)=\langle \nabla g(f(x_0)) ; (f'_1(x_0),... , f'_n(x_0)) \rangle
\]
Il risultato in un prodotto scalare sarà proprio un numero, come richiesto.
Teorema.
Sia $f:A \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m $ e $g:B \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^p $. Sia poi $x_0 \in A$, $f(x_0) \in B$ e siano $f$,$g$ differenziabili rispettivamente in $x_0$ e in $f(x_0)$. Allora la funzione composta $f \circ g$ è differenziabile in $x_0$ e vale:
\[
J_{f \circ g}(x_0)=J_g(f(x_0)) \cdot J_f(x_0)
\]
"alessandrof10":
allora la prima parte del teorema dice definite
$f:A in RR^n->RR$ e $g:I in RR->RR$ considerata la funzione composta $h(x)=g(f(x))$ definita in almeno in un intorno $x_0$ del suo dominio se $f$ è differenziabile in $x_0$ e $g$ è derivabile in $f(x_0)$ allora la funzione composta è differenziabile in $x_0$ e
$\gradh(x_0)=g'(f(x_0))\gradf(x_0)$
questo risultato quindi è un vettore ?? potreste formi un esempio di come si applica questo teorema
Cosa sono $f$ e $g$?
$g:I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, è una funzione dell'Analisi 1. La sua derivata in $y_0$ sarà un numero che si denota con $g'(x_0)$.
$f:A \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} $ è un campo scalare. Sappiamo che il differenziale di un campo scalare in $x_0$ è rappresentato da un vettore, detto vettore gradiente, e denotato con $\nabla f (x_0)$
Seguendo la traccia del teorema di cui sopra, avremo $J_{f \circ g}(x_0)=J_g(f(x_0)) \cdot J_f(x_0)$. Nel nostro caso, $J_g(f(x_0))=g'(f(x_0))$, e $J_f(x_0)=\nabla f(x_0)$. Le dimensioni devono essere rispettate. La funzione composta manda un vettore di $\mathbb{R}^n$ in un numero di $\mathbb{R}$, quindi $J_{f \circ g}(x_0)$ deve avere $n$ colonne e $1$ riga. Se provi a computare $g'(f(x_0))\gradf(x_0)$ vedi che è una moltiplicazione vettore per scalare, quindi la dimensione rimarrà proprio $1xxn$.
"alessandrof10":
la seconda parte del teorema dice
$ f:A in RR->RR^n $ e $ g:I in RR^n->RR $ considerata la funzione composta $ h(x)=g(f(x)) $ definita in almeno in un intorno $ x_0 $ del suo dominio se $ f $ è differenziabile in $ x_0 $ e $ g $ è derivabile in $ f(x_0) $ allora la funzione composta è differenziabile in $ x_0 $ e
$ h'(x_0)=\gradg(f(x_0))*f'(x_0) $
ma se f è un vettore perche nella formula cè la derivata prima ?? non ci dovrebbe essere il gradiente di f anche per questo potreste farmi un esempio per capire meglio per quale motivo nascono queste due formule
Ripetiamo il ragionamento di prima: $g$ è un campo scalare, e sappiamo che dovremo considerare il suo gradiente. $f$ invece manda un parametro da $RR$ in $RR^n$, quindi il vettore derivato sarà del tipo $(f'_1(x_0),... , f'_n(x_0))$.
Cos'è invece $f \circ g$? Questa funzione va da $RR$ in $RR$, quindi la sua derivata deve essere una derivata dell'analisi 1, un numero quindi. Infatti, seguendo il teorema, avremo:
\[
(f\circ g)'(x_0)=\nabla g(f(x_0)) \cdot f'(x_0) \Rightarrow (f\circ g)'(x_0)=\langle \nabla g(f(x_0)) ; (f'_1(x_0),... , f'_n(x_0)) \rangle
\]
Il risultato in un prodotto scalare sarà proprio un numero, come richiesto.
mi hai tolto tutti i dubbi.. un ultima cosa, avresti degli esercizi per farmi capire come funziona in pratica questo teorema ??
comunque grazie di avermi risposto
comunque grazie di avermi risposto
Prova tu a scrivere il gradiente (come mai?) di questa:
$f \circ g$ con $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ e $g: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ definite da
$f(x,y)=(x^2+y^2,xy^2+y^3)$
$g(u,v)=(sin(u)+1-e^v)$
Buon lavoro!
$f \circ g$ con $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ e $g: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ definite da
$f(x,y)=(x^2+y^2,xy^2+y^3)$
$g(u,v)=(sin(u)+1-e^v)$
Buon lavoro!
Allora grazie dell esercizio ma non ho tempo per fare i conti comunque la funzione composta e $f(g(u, v)) $ quindi prima cosa mi calcola la jacobiana e sarà una matrice 2x2 poi sostituisco ad ogni x e y la funzione g(u, v) poi mi calcolo il gradiente di g (u, v) e moltiplica la matrice 2x2 per il gradiente 2x1 e uscirà un vettore 2x1 quindi il gradiente della funzione composta... Se giusto quello l unica cosa che non mi è tanto chiara in termini pratici e dopo che mi trovo la jacobiana come faccio a sostituire le x e y con la mia funzione g(u, v)?
"alessandrof10":
la funzione composta e $f(g(u, v)) $
Ah sì? L'argomento della funzione $f$ sta in $\mathbb{R}^2$ e $g(u,v)$ sta in $\mathbb{R}$, come puoi comporre quelle due funzioni così? Semmai puoi fare il contrario...
Si e giusto mi sono confuso... Quindi $g(f(x, y)) : RR^2-->RR$ ma in termini pratici come la scrivo la composizione?
Abbiamo scritto prima che vale sempre la regola
\[
J_{f \circ g}(x_0)=J_g(f(x_0)) \cdot J_f(x_0)
\]
Riportiamoci al nostro caso: la Jacobiana di $f$ è una matrice $2xx2$, mentre il gradiente di $g$ è un vettore $1xx2$, ed è calcolato in $f(x,y)$. Allora
\[
\nabla(f \circ g)(x,y)=\nabla g(f(x,y)) \cdot J_f(x,y)
\]
dove con $\cdot$ indico il prodotto matrice-vettore.
\[
J_{f \circ g}(x_0)=J_g(f(x_0)) \cdot J_f(x_0)
\]
Riportiamoci al nostro caso: la Jacobiana di $f$ è una matrice $2xx2$, mentre il gradiente di $g$ è un vettore $1xx2$, ed è calcolato in $f(x,y)$. Allora
\[
\nabla(f \circ g)(x,y)=\nabla g(f(x,y)) \cdot J_f(x,y)
\]
dove con $\cdot$ indico il prodotto matrice-vettore.
giustissimo ma ma praticamente come lo calcolo $\nablag(f(x,y))$ allora prendo g e lo derivo rispetto a u e v e poi come faccio a calcolarlo in f(x,y) che è un vettore ??
Ciascuna derivata parziale di $g$ sarà della forma $\frac{\delg}{\delx}(x,y)$, $\frac{\delg}{\dely}(x,y)$...
scusami frink ma se non vedo come fai non riesco a capire... cioè con quale criterio io sostituisco un vettore dentro una funzione
Ma qui sono le basi del calcolo multivariabile...
$g:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$ tale che $g(x,y)=x^2y^2$
$ \frac{\delg}{\delx}(x,y)=2xy^2$, $ \frac{\delg}{\dely}(x,y)=x^2(2y)$,
Per ottenere il valore numerico delle derivate cosa vuoi sostituire? Un numero?
Devi sostituire un vettore di $\mathbb{R}^2$, e al posto della $x$ metti la prima componente, al posto della $y$ metti la seconda componente. Esattamente come avresti fatto nella funzione di partenza.
Ripassa molto bene le basi di Analisi 2, altrimenti è inutile cercare di capire quello che viene dopo.
$g:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$ tale che $g(x,y)=x^2y^2$
$ \frac{\delg}{\delx}(x,y)=2xy^2$, $ \frac{\delg}{\dely}(x,y)=x^2(2y)$,
Per ottenere il valore numerico delle derivate cosa vuoi sostituire? Un numero?
Devi sostituire un vettore di $\mathbb{R}^2$, e al posto della $x$ metti la prima componente, al posto della $y$ metti la seconda componente. Esattamente come avresti fatto nella funzione di partenza.
Ripassa molto bene le basi di Analisi 2, altrimenti è inutile cercare di capire quello che viene dopo.
grazie frink comunque sto studiando ancora analisi 2 e sto preparando l orale quindi non avendo mai incontrato queste composizioni in piu variabili vado un po in confusione comunque riprendendo il tuo esempio se definissimo
$f:RR^2->RR^2$ dove $f(u,v)=(e^(u),ln(v))$ e considerando il gradiente della funzione composta calcolata in $f(u,v)$ sarebbe
$\nabla g(f(u,v))=(2e^(u)ln(v)^2,2e^(2u)ln(v))$ giusto capo ??
$f:RR^2->RR^2$ dove $f(u,v)=(e^(u),ln(v))$ e considerando il gradiente della funzione composta calcolata in $f(u,v)$ sarebbe
$\nabla g(f(u,v))=(2e^(u)ln(v)^2,2e^(2u)ln(v))$ giusto capo ??
Perfetto.
grazie della pazienza ma questo teorema l ho dovuto imparare per via della dimostrazione della serie di taylor in piu variabili e credendo di averlo capito quando andavo a dimostrare la serie non riuscivo a capire certe cose adesso è tutto piu chiaro grazie ancora
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