Spezzare una forma differenziale
Buongiorno,
nell'ultimo esame di analisi 2, per risolvere un integrale curvilineo di una forma differenziale lineare bisognava spezzare la forma $ omega $ in $ omega(1) $ e $ omega(2) $, così che un integrale venisse nullo perché la forma era chiusa su una curva chiusa e anche l'altro venisse nullo attraverso però dei semplici calcoli. Il mio problema è che sul libro non ho mai letto di questa "scorciatoia" e anche su internet ho trovato qualcosa a riguardo con molta difficoltà. Vorrei quindi sapere se dietro questo modo di risolvere gli esercizi ci sia un teorema o qualcosa di simile.
Grazie
nell'ultimo esame di analisi 2, per risolvere un integrale curvilineo di una forma differenziale lineare bisognava spezzare la forma $ omega $ in $ omega(1) $ e $ omega(2) $, così che un integrale venisse nullo perché la forma era chiusa su una curva chiusa e anche l'altro venisse nullo attraverso però dei semplici calcoli. Il mio problema è che sul libro non ho mai letto di questa "scorciatoia" e anche su internet ho trovato qualcosa a riguardo con molta difficoltà. Vorrei quindi sapere se dietro questo modo di risolvere gli esercizi ci sia un teorema o qualcosa di simile.
Grazie
Risposte
Deriva semplicemente dalla linearità dell'integrale e dalle proprietà delle forme chiuse.
Infatti, per legaremi al post di vic85, l'insieme delle forme differenziali costituisce uno spazio vettoriale sul campo $\mathbb{R}$ rispetto alla somma e alla moltiplicazione per un numero reale così definite:
\begin{align*}
\omega_1+\omega_2=(A_1+A_2)\,\,dx+(B_1+B_2)\,\,dy,\qquad \lambda\omega=\lambda A(x,y)dx+\lambda B(x,y)dy,
\end{align*}
dove
\begin{align*}
\omega_1(x,y) = A_1(x,y) dx + B_1(x,y) dy,\qquad \omega_2 (x,y)= A_2(x,y) dx + B_2(x,y) dy.
\end{align*}
\begin{align*}
\omega_1+\omega_2=(A_1+A_2)\,\,dx+(B_1+B_2)\,\,dy,\qquad \lambda\omega=\lambda A(x,y)dx+\lambda B(x,y)dy,
\end{align*}
dove
\begin{align*}
\omega_1(x,y) = A_1(x,y) dx + B_1(x,y) dy,\qquad \omega_2 (x,y)= A_2(x,y) dx + B_2(x,y) dy.
\end{align*}
Grazie a entrambi, l'unica cosa che non ho capito e che cosa intendi vict85 con "deriva dalle proprietà delle forme chiuse".
Mi riferivo alle definizioni di forme chiuse ed esatte e il loro rapporto con l'integrale.
"vict85":
Mi riferivo alle definizioni di forme chiuse ed esatte e il loro rapporto con l'integrale.
Ok, ma la proprietà delle forme esatte di rendere l'integrale su una curva chiusa nullo, entra in gioco dopo che ho spezzato la forma iniziale e se una delle nuove forme è chiusa ecc...
Quindi questo come mi rientra nella possibilità di spezzare la forma?
Scusami ma forse sono io che non capisco.
Nulla, stavo facendo riferimento a tutti i teoremi che usi per l'intera risoluzione dell'esercizio. Infatti non ero stato troppo preciso su quella parte.
Per la prima parte usi questo fatto: \(\displaystyle \oint_{\gamma} (\omega_1 + \omega_2) = \oint_{\gamma}\omega_1 + \oint_{\gamma}\omega_2 \). La dimostrazione è analoga a quella di \(\displaystyle \int_{a}^b (f + g)\,dx = \int_{a}^b f\,dx + \int_{a}^b g\,dx \).
Per la prima parte usi questo fatto: \(\displaystyle \oint_{\gamma} (\omega_1 + \omega_2) = \oint_{\gamma}\omega_1 + \oint_{\gamma}\omega_2 \). La dimostrazione è analoga a quella di \(\displaystyle \int_{a}^b (f + g)\,dx = \int_{a}^b f\,dx + \int_{a}^b g\,dx \).
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