Spazio metrico (di funzioni) completo

canesciolt0
Salve, ho questo problema




e non so come impostare la dimostrazione. So che una successione $ {x_n}_(ninmathbb(N)) sub X $ è di Cauchy in uno spazio metrico $ (X,d) $ se $ AA epsilon >0 EE bar(n) (epsi)in mathbb(N):d(x_n,x_m)barn(epsi) $

So anche che ogni successione convergente ad un elemento dello spazio metrico è di Cauchy e so ovviamente che per essere definito completo uno spazio metrico deve avere tutte le successioni di Cauchy che "vivono" in esso convergenti ad un elemento dello spazio.

Secondo la metrica data, una successione $ {f_n}_(n in mathbbN) sub C([0,1],mathbbR) $ è di Cauchy se $ AAepsi>0 EE barn(epsi) in mathbbN : max abs(f_n(t)-f_m(t))barn(epsi) AA t in [0,1]$ oppure $ bart in [0,1] $ ?

Scusate ma non sono molto pratico con questi esercizi puramente di teoria, mi date una mano? Anche un semplice input, o magari uno schema con cui risolvere questo tipo di problemi mi sarebbe utile.

Risposte
Bremen000
Ciao,
Prova a fissare $x \in [0,1]$ e a considerare la successione $\{f_n(x) \}_{n \in NN} \subset RR$.

Attento che nella definizione di successione di Cauchy in $C[0,1]$ la $t$ non deve apparire, è “saturata” dal massimo.

canesciolt0
In che senso è saturata dal massimo?

Comunque non so ancora in che direzione procedere: come faccio a dimostrare che una generica successione di Cauchy appartenente allo spazio converge (nello stesso)?
Considero quella successione e? Scusa ma è praticamente il primo esercizio del genere che mi si presenta davanti, non ho idea di come fare :shock:

Bremen000
Nel senso che la definizione giusta è questa:
Una successione $ {f_n}_(n in mathbbN) sub C([0,1];RR) $ è di Cauchy se

$ AAepsi>0 EE barn(epsi) in mathbbN : max_{t \in [0,1]} abs(f_n(t)-f_m(t))barn(epsi)$

Ovvero la $t$ “scompare” dalla fine della definizione perché la usi per farci il massimo (detta alla buona).

Nota che la definizione è ben posta grazie a Weierstrass.

Non è un esercizio facile secondo me. In ogni caso di solito ci si appoggia su uno spazio che si sa già essere completo (cioè $RR$ in questo caso). Cosa puoi dire della successione di numeri reali che ti ho citato prima?

canesciolt0
Beh in verità questo credo sia l'unico esercizio del genere che il mio prof di Analisi 2 ha inserito nelle dispense! Però dato che c'è volevo sapere comunque almeno come metterci mano.

Della successione so che siccome è di Cauchy in $ mathbbR $ allora è sicuramente convergente (avevo letto la dimostrazione per successioni non necessariamente di funzioni, domani la ritrovo e la posto.)
- Una successione di Cauchy è limitata
- Se una successione di Cauchy ammette una sottosuccessione convergente ad un limite allora anche la successione di partenza converge allo stesso limite
- Ogni successione limitata ammette una sottosuccessione convergente
)
Nello spoiler c'è il link alle dimostrazioni dei tre punti elencati:


Sulla successione inoltre mi viene da pensare che dato che è di Cauchy e dato che converge, il limite sarà con ogni probabilità una funzione continua a valori in $ mathbbR $ : se converge significa che le funzioni con indice molto grande sono approssimabili alla funzione limite, quindi quest'ultima è simile agli "ultimi" elementi della successione e per cui probabilmente è in $ C ([0,1],mathbbR) $.

Vorrei saper esprimere questo concetto e dimostrarlo col dovuto rigore matematico, attendo fiducioso qualcuno che ne sappia più di me :D

Bremen000
Per la tua successione di funzioni vale:
$ AAepsi>0 EE barn(epsi) in mathbbN : max_{t \in [0,1]} abs(f_n(t)-f_m(t))barn(epsi)$

Che implica

$ AAepsi>0 EE barn(epsi) in mathbbN : abs(f_n(t)-f_m(t))barn(epsi) \forall t \in [0,1]$

Fissa $t$ e considera la successione $\{f_n(t)\}_{n \in NN} \subset RR$, essa è di Cauchy, ma $RR$ è completo, dunque è convergente; ovvero

$\exists \x_t \in RR : \lim_{n \to \infty} f_n(t) = x_t$

E' dunque ben posta la seguente definizione:

$f: [0,1] \to RR$
$t \mapsto \lim_{n \to \infty} f_n(t) = x_t$

Tutto sta nel dimostrare che $f$ è continua. Idee?

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