Spazio Metrico. Aiuto
Vi chiedo per favore di aiutarmi in questo esercizio, sono riuscita a scriverne solamente una parte, poi non so come andare avanti. AIutatemi per favore. GRAZIE IN ANTICIPO
Sia (X,d) uno spazio metrico e sia \(\displaystyle \zeta \) una famiglia di sottoinsiemi chiusi e limitati di X non vuoti e a due a due disgiunti. Per \(\displaystyle S,T\in\zeta \) si ponga
\(\displaystyle \delta(S,T)=inf\{d(s,t):s\in S,t\in T\} \)
In generale \(\displaystyle (\zeta,\delta) \)non è uno spazio metrico: indicare quali, fra gli assiomi che definiscono una metrica, potrebbero essere violati da \(\displaystyle \delta \). Motivare la risposta
SVOLGIMENTO
io ho solamente per ora detto gli assiomi della metrica che sono
1- \(\displaystyle d(x,y)\geq0 \) per ogni \(\displaystyle x,y \in X \)
2- \(\displaystyle d(x,y)=0 \leftrightarrow x=y \)
3- \(\displaystyle d(x,y)=d(y,x) \)
4- \(\displaystyle d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y) \) disuguaglianza triangolare
E poi mi perdo perchè mi dice che \(\displaystyle \delta(S,T)=inf\{d(s,t):s\in S,t\in T\} \) non è in generale una metrica. Mi sono persa diciamo.
Aiutatemi per favore. Grazie in anticipo!
Sia (X,d) uno spazio metrico e sia \(\displaystyle \zeta \) una famiglia di sottoinsiemi chiusi e limitati di X non vuoti e a due a due disgiunti. Per \(\displaystyle S,T\in\zeta \) si ponga
\(\displaystyle \delta(S,T)=inf\{d(s,t):s\in S,t\in T\} \)
In generale \(\displaystyle (\zeta,\delta) \)non è uno spazio metrico: indicare quali, fra gli assiomi che definiscono una metrica, potrebbero essere violati da \(\displaystyle \delta \). Motivare la risposta
SVOLGIMENTO
io ho solamente per ora detto gli assiomi della metrica che sono
1- \(\displaystyle d(x,y)\geq0 \) per ogni \(\displaystyle x,y \in X \)
2- \(\displaystyle d(x,y)=0 \leftrightarrow x=y \)
3- \(\displaystyle d(x,y)=d(y,x) \)
4- \(\displaystyle d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y) \) disuguaglianza triangolare
E poi mi perdo perchè mi dice che \(\displaystyle \delta(S,T)=inf\{d(s,t):s\in S,t\in T\} \) non è in generale una metrica. Mi sono persa diciamo.
Aiutatemi per favore. Grazie in anticipo!
Risposte
Guarda la proprietà di annullamento 2: per quali insiemi si ha che \(\delta(S,T) = 0\)?
"Rigel":
Guarda la proprietà di annullamento 2: per quali insiemi si ha che \(\delta(S,T) = 0\)?
Attento. C'é scritto che gli insiemi sono a due a due disgiunti quindi non ci sono \(\displaystyle \delta(s,t) = 0 \) se \(\displaystyle s\in S, t\in T \) diversi.
Il problema è la disuguaglianza triangolare
Prova a pensare agli insiemi \(\displaystyle [x] \), \(\displaystyle [x+1, y-1] \) e \(\displaystyle [y] \) in \(\displaystyle \mathbb{R} \)...
X 55sarah: prova a pensare a visualizzare questi insiemi su uno spazio che conosci (\(\displaystyle \mathbb{R} \) o \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \)) e poi prova a generalizzare
Confesso che mi ero completamente perso "a due a due disgiunti"; rimango comunque convinto del fatto che la proprietà di annullamento non sia in generale soddisfatta (anche se, per fare un controesempio, è senz'altro necessario uscire da \(\mathbb{R}^n\)).
"Rigel":
Confesso che mi ero completamente perso "a due a due disgiunti"; rimango comunque convinto del fatto che la proprietà di annullamento non sia in generale soddisfatta (anche se, per fare un controesempio, è senz'altro necessario uscire da \(\mathbb{R}^n\)).
Senza dubbio ho già trovato un problema tra le varie condizioni. Comunque esprimo il perché secondo me ti sbagli.
L'assioma degli spazi metrici afferma che:
(\(\displaystyle \ast \)) \(\displaystyle d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x = y \)
Uno spazio che rispetta tutti tranne questa proprietà è detto spazio pseudometrico.
Fissiamo un \(\displaystyle t\in T \). Supponiamo che \(\displaystyle \inf_{s\in S}d(s,t) = 0 \). Pertanto per ogni \(\displaystyle B_r(t) \) si ricava che \(\displaystyle B_r(t)\cap S \neq 0\); in altre parole \(\displaystyle t \) è un punto di accumulazione di \(\displaystyle S \). Ma \(\displaystyle S \) è chiuso e quindi \(\displaystyle t\in S \) contro le ipotesi che si tratti di insiemi disgiunti.
Questo significa che devono variare entrambi. Siano quindi due successioni tali che \(\displaystyle \lim_{i\to \infty}d(s_i, t_i) = 0 \). Se una delle due successioni convergesse ad un punto \(\displaystyle p \) allora \(\displaystyle p \) sarebbe punto di accumulazione di entrambi gli insiemi e quindi un punto in comune per la chiusura di entrambi.
Questo implica che le due successioni non devono convergere ad alcun punto. Penso sia semplice da far vedere che questo contraddisce la limitatezza dei due insiemi ma non sono così lucido ora da riuscirci. Ci penserò domani.
Farei comunque notare che esistono chiusi non limitati con questa caratteristica: per esempio un'iperbole equilatera con gli assi.
Trovato... Ogni tanto non si vede qualcosa che si ha di fronte.Ogni spazio metrico è di Hausdorff e in ogni spazio di Hausdorff chiuso+limitato (+ non-vuoto) = compatto.
Allora consideriamo la funzione \(\displaystyle \tilde{d}\colon S\times T\to \mathbb{R} \). Quest'ultima essendo definita su un compatto ed essendo continua (è la restrizione di una funzione continua) l'immagine è un compatto ed in particolare è un insieme finito di intervalli disgiunti. In particolare la funzione ha un minimo. Quindi in realtà nel caso specifico \(\displaystyle \delta(S,T)=0 \) se e solo se \(\displaystyle \tilde{d}(s,t) = 0 \) per due punti \(\displaystyle s \) e \(\displaystyle t \). Siccome siamo in uno spazio metrico allora \(\displaystyle s=t \) e i due insiemi non sono disgiunti.
Mi stavo proprio perdendo in un bicchiere d'acqua... 
P.S: Il messaggio prima serve quindi solo per mostrare che se si tolgono rispettivamente chiuso e limitato allora il punto 2 non vale necessariamente neanche in \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \) (se si toglie chiuso si può trovare un esempio in \(\displaystyle \mathbb{R} \)). A riprova che il mio consiglio di pensare le cose in \(\displaystyle \mathbb{R} \) e \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \) non era poi così strampalato :p.
Un controesempio è il grafico di $1/|x|$ no?
In ellepiccolodue (ok, Rigel): si prende la base canonica (ONC) e_n e si prende poi e_n + 1/n
A è l'insieme degli e_n, B è l'insieme degli altri.
Sono chiusi e limitati.
Hanno dist 0, sono disgiunti, ma ovviamente non sono lo stesso insieme.
@vict85: eeeh???
A è l'insieme degli e_n, B è l'insieme degli altri.
Sono chiusi e limitati.
Hanno dist 0, sono disgiunti, ma ovviamente non sono lo stesso insieme.
@vict85: eeeh???
Ok, avevo erroneamente assunto che lo spazio fosse boundedly compact. Quindi io di fatto ho dimostrato che se lo spazio è boundedly compact allora il punto 2. è assicurato. Questo in particolare vuol dire che è assicutato se lo spazio metrico è \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) e vari altri spazi importanti.
Ogni tanto la memoria fa brutti scherzi.
Ogni tanto la memoria fa brutti scherzi.
"vict85":
Ok, avevo erroneamente assunto che lo spazio fosse boundedly compact. Quindi io di fatto ho dimostrato che se lo spazio è boundedly compact allora il punto 2. è assicurato. Questo in particolare vuol dire che è assicutato se lo spazio metrico è \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) e vari altri spazi importanti.
Il punto è esattamente questo; per questo avevo scritto che, per fare un controesempio, bisogna senz'altro uscire da \(\mathbb{R}^n\).
Non ho però in mente un controesempio; proverò a pensarci.
"55sarah":
Vi chiedo per favore di aiutarmi in questo esercizio, sono riuscita a scriverne solamente una parte, poi non so come andare avanti.
...
SVOLGIMENTO
io ho solamente per ora detto gli assiomi della metrica che sono
...
E poi mi perdo perchè mi dice che \(\displaystyle \delta(S,T)=inf\{d(s,t):s\in S,t\in T\} \) non è in generale una metrica. Mi sono persa diciamo.
Aiutatemi per favore. Grazie in anticipo!
Un aiuto importante è sottolineare, da parte mia, che la "parte" che sei riuscita a scrivere è praticamente nulla.
Dimostra solo che sai di cosa si parla (ed una certa diligenza), ma manca ogni pur minima idea su come effettivamente rispondere alle domande poste.
A rigore, stando alle regole di questo forum, ti si doveva richiedere un minimo sforzo da parte tua. Un contributo di idee, prima di passare ad aiutarti (me compreso, ammesso che il mio post ti possa essere utile).
In effetti la questione dell'annullamento non è banale. Per chi fosse interessato cito questi due teoremi:
Certo, qui si considerano sempre insiemi convessi, cosa che rende più facile la separazione.
Theorem (Tukey). If \(X\) is a reflexive Banach space and \(A\) and \(B\) are closed disjoint convex subsets with
\(A\) bounded, then \(A\) and \(B\) can be strictly separated.
Theorem (Klee). Let \(E\) be a non-reflexive Banach space. Then \(E\) contains two disjoint closed bounded convex sets which cannot be separated by a closed hyperplane.
Certo, qui si considerano sempre insiemi convessi, cosa che rende più facile la separazione.
Come ho detto prima la condizione che deve verificarsi è la presenza di due successioni di punti di \(\displaystyle S \) e \(\displaystyle T \) che non possiede punti di accumulazione ma in cui la distanza tra elementi corrispondenti tende a \(\displaystyle 0 \). Penso che l'esempio di Fioravante possa funzionare anche se non mi intendo molto di spazi \(\displaystyle \ell_2 \). Anche se a dire il vero lo vedo un po' difficile per una domanda che, dato le altre discussioni portate avanti dallo stesso autore/autrice, immagino sia stata posta ad analisi I.
Mi è però venuto in mente che forse si può riuscirci semplicemente non considerando spazi metrici completi. Per esempio lavorando sulla retta \(\displaystyle \mathbb{Q} \).
Non vorrei dire stupidaggini ma a occhio \(\displaystyle (\sqrt{2}, 5] \) è un chiuso di \(\displaystyle \mathbb{Q} \) in quanto il suo complementare è visivamente unione di palle aperte. Nello stesso modo lo è l'insieme \(\displaystyle [1, \sqrt{2}) \). A questo punto si hanno sue insiemi chiusi, limitati e disgiunti con distanza nulla. Ma ammetto che la mia inesperienza a lavorare con \(\displaystyle \mathbb{Q} \) mi potrebbe aver portato a fare qualche errore (mi sembra un po' troppo facile )
Mi è però venuto in mente che forse si può riuscirci semplicemente non considerando spazi metrici completi. Per esempio lavorando sulla retta \(\displaystyle \mathbb{Q} \).
Non vorrei dire stupidaggini ma a occhio \(\displaystyle (\sqrt{2}, 5] \) è un chiuso di \(\displaystyle \mathbb{Q} \) in quanto il suo complementare è visivamente unione di palle aperte. Nello stesso modo lo è l'insieme \(\displaystyle [1, \sqrt{2}) \). A questo punto si hanno sue insiemi chiusi, limitati e disgiunti con distanza nulla. Ma ammetto che la mia inesperienza a lavorare con \(\displaystyle \mathbb{Q} \) mi potrebbe aver portato a fare qualche errore (mi sembra un po' troppo facile
)
Ach, mi ero perso anche l'esempio di FP!
(Devo dire che sono alquanto distratto...)
(Devo dire che sono alquanto distratto...)
@vict85:
chiaramente non si sta discutendo dell'esercizio originale; lì, come hai già osservato tu, si fa molto prima a vedere che non è soddisfatta la disuguaglianza triangolare. Basta prendere, in \(\mathbb{R}\) con l'usuale distanza, gli insiemi \(A = [0,1]\), \(B = [2,3]\), \( C = [4,5]\) e osservare che \( \delta(A,C) = 3 > \delta(A,B) + \delta(B,C) = 2\).
chiaramente non si sta discutendo dell'esercizio originale; lì, come hai già osservato tu, si fa molto prima a vedere che non è soddisfatta la disuguaglianza triangolare. Basta prendere, in \(\mathbb{R}\) con l'usuale distanza, gli insiemi \(A = [0,1]\), \(B = [2,3]\), \( C = [4,5]\) e osservare che \( \delta(A,C) = 3 > \delta(A,B) + \delta(B,C) = 2\).
"vict85":
:-D Trovato... Ogni tanto non si vede qualcosa che si ha di fronte.
Ogni spazio metrico è di Hausdorff e in ogni spazio di Hausdorff chiuso+limitato (+ non-vuoto) = compatto.
Allora consideriamo la funzione \(\displaystyle \tilde{d}\colon S\times T\to \mathbb{R} \). Quest'ultima essendo definita su un compatto ed essendo continua (è la restrizione di una funzione continua) l'immagine è un compatto ed in particolare è un insieme finito di intervalli disgiunti. In particolare la funzione ha un minimo. Quindi in realtà nel caso specifico \(\displaystyle \delta(S,T)=0 \) se e solo se \(\displaystyle \tilde{d}(s,t) = 0 \) per due punti \(\displaystyle s \) e \(\displaystyle t \). Siccome siamo in uno spazio metrico allora \(\displaystyle s=t \) e i due insiemi non sono disgiunti.
P.S: Il messaggio prima serve quindi solo per mostrare che se si tolgono rispettivamente chiuso e limitato allora il punto 2 non vale necessariamente neanche in \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \) (se si toglie chiuso si può trovare un esempio in \(\displaystyle \mathbb{R} \)). A riprova che il mio consiglio di pensare le cose in \(\displaystyle \mathbb{R} \) e \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \) non era poi così strampalato :p.
Chiedo scusa per il ritardo nel rispondere, ma non avevo il pc.
Cmq questo che dici tu vict85 mi sembra corretto. Sì la disuguaglianza triangolare che dice @rigel sono pienamente d'accordo! e infatti ho trovato 1 esempio
Quello che mi mancava era proprio la proprietà dell'annullamento! e mi sa che tu vict85 l'hai detta esatta!.. cioè non male come idea
grazie!GRAZIE 1000 @vict85
Per quanto riguarda invece @rigel mi fai venire 1 dubbio, cioè
tu hai detto, cioè hai messo quei 2 teoremi in inglese, mi viene 1 dubbio
MA QUI SONO INSIEMI CONVESSI? chiedo..
GRAZIE IN ANTICIPO.. E ANCHE GRAZIE A TUTTI QUELLI CHE HANNO RISPOSTO!
"55sarah":
[quote="vict85"]
...
Ogni spazio metrico è di Hausdorff e in ogni spazio di Hausdorff chiuso+limitato (+ non-vuoto) = compatto.
...
...
Chiedo scusa per il ritardo nel rispondere, ma non avevo il pc.
Cmq questo che dici tu vict85 mi sembra corretto.
...
Per quanto riguarda invece @rigel mi fai venire 1 dubbio, cioè
tu hai detto, cioè hai messo quei 2 teoremi in inglese, mi viene 1 dubbio
MA QUI SONO INSIEMI CONVESSI? chiedo..
[/quote]
Ehm, per scrupolo: quanto detto da vict85 e da me evidenziato qui sopra NON è corretto, come avevo già osservato in un post precedente.
Quanto ai convessi, ha citato teoremi che parlano di questo tipo di sottoinsiemi solo per fornire esempi di come a volte si possano dedurre che certi insiemi sono (ben) staccati tra loro, senza ipotesi che lo affermino in modo così ovvio.
Direttamente questi risultati NON sono rilevanti per l tuo esercizio. Il tuo esecizio riguarda gli spazi metrici e in quest'ambito non ha neppure senso parlare di convessità (almeno, nel modo consueto).
Ah ok grazie!
Ma allora come risolvo la questione che l'assioma 2 cioè \(\displaystyle d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y \) non è verificata?
mi sembrava una buona idea quella di vict85
poi per Rigel quando dice
Il punto è esattamente questo; per questo avevo scritto che, per fare un controesempio, bisogna senz'altro uscire da \(\mathbb{R}^n\).
Non ho però in mente un controesempio; proverò a pensarci.[/quote]
che controesempio si può fare?..io di solito come controesempi uso la dimostrazione per assurdo ma non mi viene in mente nulla.. come posso trovare 1 controesempio e uscire da \(\displaystyle \mathbb{R}^n \)?
Oppure come lo posso risolvere?..
Ma allora come risolvo la questione che l'assioma 2 cioè \(\displaystyle d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y \) non è verificata?
mi sembrava una buona idea quella di vict85
poi per Rigel quando dice
"Rigel":
[quote="vict85"]Ok, avevo erroneamente assunto che lo spazio fosse boundedly compact. Quindi io di fatto ho dimostrato che se lo spazio è boundedly compact allora il punto 2. è assicurato. Questo in particolare vuol dire che è assicutato se lo spazio metrico è \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) e vari altri spazi importanti.
Il punto è esattamente questo; per questo avevo scritto che, per fare un controesempio, bisogna senz'altro uscire da \(\mathbb{R}^n\).
Non ho però in mente un controesempio; proverò a pensarci.[/quote]
che controesempio si può fare?..io di solito come controesempi uso la dimostrazione per assurdo ma non mi viene in mente nulla.. come posso trovare 1 controesempio e uscire da \(\displaystyle \mathbb{R}^n \)?
Oppure come lo posso risolvere?..
"55sarah":
[...]
che controesempio si può fare?..io di solito come controesempi uso la dimostrazione per assurdo ma non mi viene in mente nulla.. [...]
Dimostrazione per assurdo e "ricerca di un controesempio" sono due "tecniche" differenti, dal punto di vista logico.
Io farei più attenzione.
Evidenzierei che mi ero già corretto sulla frase in questione citando espressamente gli spazio per cui la frase funziona. E avevo, più avanti, fatto un controesempio con uno spazio non completo. Senza considerare che FIoravante aveva fatto un controesempio ben prima di me.
Dove ho parlato di convessità? Ho fatto riferimento a compatti ma convessi non direi. In ogni caso la mia frase era errata e quindi neanche i compatti servivano.
Dove ho parlato di convessità? Ho fatto riferimento a compatti ma convessi non direi. In ogni caso la mia frase era errata e quindi neanche i compatti servivano.
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