Spazio Metrico. Aiuto
Vi chiedo per favore di aiutarmi in questo esercizio, sono riuscita a scriverne solamente una parte, poi non so come andare avanti. AIutatemi per favore. GRAZIE IN ANTICIPO
Sia (X,d) uno spazio metrico e sia \(\displaystyle \zeta \) una famiglia di sottoinsiemi chiusi e limitati di X non vuoti e a due a due disgiunti. Per \(\displaystyle S,T\in\zeta \) si ponga
\(\displaystyle \delta(S,T)=inf\{d(s,t):s\in S,t\in T\} \)
In generale \(\displaystyle (\zeta,\delta) \)non è uno spazio metrico: indicare quali, fra gli assiomi che definiscono una metrica, potrebbero essere violati da \(\displaystyle \delta \). Motivare la risposta
SVOLGIMENTO
io ho solamente per ora detto gli assiomi della metrica che sono
1- \(\displaystyle d(x,y)\geq0 \) per ogni \(\displaystyle x,y \in X \)
2- \(\displaystyle d(x,y)=0 \leftrightarrow x=y \)
3- \(\displaystyle d(x,y)=d(y,x) \)
4- \(\displaystyle d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y) \) disuguaglianza triangolare
E poi mi perdo perchè mi dice che \(\displaystyle \delta(S,T)=inf\{d(s,t):s\in S,t\in T\} \) non è in generale una metrica. Mi sono persa diciamo.
Aiutatemi per favore. Grazie in anticipo!
Sia (X,d) uno spazio metrico e sia \(\displaystyle \zeta \) una famiglia di sottoinsiemi chiusi e limitati di X non vuoti e a due a due disgiunti. Per \(\displaystyle S,T\in\zeta \) si ponga
\(\displaystyle \delta(S,T)=inf\{d(s,t):s\in S,t\in T\} \)
In generale \(\displaystyle (\zeta,\delta) \)non è uno spazio metrico: indicare quali, fra gli assiomi che definiscono una metrica, potrebbero essere violati da \(\displaystyle \delta \). Motivare la risposta
SVOLGIMENTO
io ho solamente per ora detto gli assiomi della metrica che sono
1- \(\displaystyle d(x,y)\geq0 \) per ogni \(\displaystyle x,y \in X \)
2- \(\displaystyle d(x,y)=0 \leftrightarrow x=y \)
3- \(\displaystyle d(x,y)=d(y,x) \)
4- \(\displaystyle d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y) \) disuguaglianza triangolare
E poi mi perdo perchè mi dice che \(\displaystyle \delta(S,T)=inf\{d(s,t):s\in S,t\in T\} \) non è in generale una metrica. Mi sono persa diciamo.
Aiutatemi per favore. Grazie in anticipo!
Risposte
"Fioravante Patrone":
In ellepiccolodue (ok, Rigel): si prende la base canonica (ONC) e_n e si prende poi e_n + 1/n
A è l'insieme degli e_n, B è l'insieme degli altri.
Sono chiusi e limitati.
Hanno dist 0, sono disgiunti, ma ovviamente non sono lo stesso insieme.
@vict85: eeeh???
mi rivolgo a te Fioravante Patrone ..per favore puoi riscrivere il tuo controesempio usando LaTex?.. scritto così capisco poco..e poi non riesco a capire cosa voglia dire "ellepiccolodue"..se la riscrivi usando LaTex ti ringrazio
"55sarah":
[quote="Fioravante Patrone"]In ellepiccolodue (ok, Rigel): si prende la base canonica (ONC) e_n e si prende poi e_n + 1/n
A è l'insieme degli e_n, B è l'insieme degli altri.
Sono chiusi e limitati.
Hanno dist 0, sono disgiunti, ma ovviamente non sono lo stesso insieme.
@vict85: eeeh???
mi rivolgo a te Fioravante Patrone ..per favore puoi riscrivere il tuo controesempio usando LaTex?.. scritto così capisco poco..e poi non riesco a capire cosa voglia dire "ellepiccolodue"..se la riscrivi usando LaTex ti ringrazio
[/quote]Come presagito da Rigel, il "problema" col mio esempio è che non sai cosa sia "ellepiccolodue"...
Riscritto usando il markup del forum, comunque:
In $l^2$: si prende $e_n$ (la parte OrtoNormale Completa più standard, ovvero la "base canonica" di $l^2$) e si considera $e_n (1 + 1/n)$.
Per il resto penso non serva LaTeX (LaTeX, non LaTex).
mi è venuta un'idea..però NON so come dimostrarla...
forse invece di dimostrare che la proprietà dell'annullamento è un se e solo se si può dimostare invece l'implicazione logica.. mi spiego meglio
invece di dire \(\displaystyle d(x,y)=0 \leftrightarrow x=y \) si può provare a dimostrare che è \(\displaystyle d(x,y)=0 \Rightarrow x=y\)
però non mi viene come dimostarlo!.. a qualcuno gli viene in mente qualcosa?..per favore.
forse invece di dimostrare che la proprietà dell'annullamento è un se e solo se si può dimostare invece l'implicazione logica.. mi spiego meglio
invece di dire \(\displaystyle d(x,y)=0 \leftrightarrow x=y \) si può provare a dimostrare che è \(\displaystyle d(x,y)=0 \Rightarrow x=y\)
però non mi viene come dimostarlo!.. a qualcuno gli viene in mente qualcosa?..per favore.
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