Spazi di funzioni
premetto che, non avendoli ancora affrontati, parlo per sentito dire;
uno spazio di funzioni è un insieme i cui elementi sono le funzioni; ora, l'insieme di tutte le funzioni ha potenza superiore a quella del continuo; ciò significherebbe che, oltre a non poter essere rappresentabile, non è neanche immaginabile, infatti, anche se, con un enorme sforzo di fantasia riusciamo almeno a concepire le n-dimensioni, non possiamo arrivare a concepire un insieme che ha potenza superiore a quella del continuo, proprio perchè la nostra mente è legata alle dimensioni... o detto una cavolata??
ciao, ubermensch
uno spazio di funzioni è un insieme i cui elementi sono le funzioni; ora, l'insieme di tutte le funzioni ha potenza superiore a quella del continuo; ciò significherebbe che, oltre a non poter essere rappresentabile, non è neanche immaginabile, infatti, anche se, con un enorme sforzo di fantasia riusciamo almeno a concepire le n-dimensioni, non possiamo arrivare a concepire un insieme che ha potenza superiore a quella del continuo, proprio perchè la nostra mente è legata alle dimensioni... o detto una cavolata??
ciao, ubermensch
Risposte
Chiaro 
Esprimo anch'io il mio interesse e apprezzamento per questo
"minicorso" sugli spazi di funzioni.
Continuate così..splendido.
Camillo
"minicorso" sugli spazi di funzioni.
Continuate così..splendido.
Camillo
E se invece di prendere in considerazione lo spazio delle funzioni reali e continue in [a,b], si rinunciasse alla continuità e si prendessero in considerazione solo le funzioni integrabili in [a,b], non potrebbe salvaguardarsi la metrica:
||f||= (integrale su [a,b] di f(x)^2*dx)^(1/2)
e nel contempo avere anche la completezza?
In questo caso lo spazio delle funzioni "integrabili" in [a,b] è più "ampio" di C[a,b], e la successione di funzioni presa precedentemente in considerazione da arriama per dimostrare l'incompletezza di c[a,b] convergerebbe una funzione si discontinua ma che è ancora una funzione integrabile.
Mi rendo conto che in tutta questa discussione il punto debole potrebbe risiedere, oltre che in qualche altra mia svista, anche nella definizione esatta di ciò che si intende "funzione integrabile".
||f||= (integrale su [a,b] di f(x)^2*dx)^(1/2)
e nel contempo avere anche la completezza?
In questo caso lo spazio delle funzioni "integrabili" in [a,b] è più "ampio" di C[a,b], e la successione di funzioni presa precedentemente in considerazione da arriama per dimostrare l'incompletezza di c[a,b] convergerebbe una funzione si discontinua ma che è ancora una funzione integrabile.
Mi rendo conto che in tutta questa discussione il punto debole potrebbe risiedere, oltre che in qualche altra mia svista, anche nella definizione esatta di ciò che si intende "funzione integrabile".
Bravo gattomatto !!!
E' proprio quello che si fa. Lo spazio L^2 è appunto lo spazio delle funzioni a cui si applica la metrica in questione.
Si tratta di funzioni integrabili secondo Lebesgue con alcune altre precisazioni e vanno sotto il nome di funzioni sommabili.
Lo spazio L^2 è di fondamentale importanza per la matematica e per la fisica (è lo spazio delle funzioni d'onda della meccanica quantistica).
Non le ho introdotte subito (le funzioni sommabili) perchè un po' complicate da definire (si parte dalla misura di Legesgue, si passa alle funzioni L-misurabili ed a quelle L-integrabili ed infine si approda alle funzioni sommabili ...) per non complicare le cose subito alla partenza. Con le funzioni continue si ragiona meglio (per iniziare).
E poi, così, ne è venuta fuori una bella discussione critica e dialettica di cui sono molto soddisfatto.
Bye.
E' proprio quello che si fa. Lo spazio L^2 è appunto lo spazio delle funzioni a cui si applica la metrica in questione.
Si tratta di funzioni integrabili secondo Lebesgue con alcune altre precisazioni e vanno sotto il nome di funzioni sommabili.
Lo spazio L^2 è di fondamentale importanza per la matematica e per la fisica (è lo spazio delle funzioni d'onda della meccanica quantistica).
Non le ho introdotte subito (le funzioni sommabili) perchè un po' complicate da definire (si parte dalla misura di Legesgue, si passa alle funzioni L-misurabili ed a quelle L-integrabili ed infine si approda alle funzioni sommabili ...) per non complicare le cose subito alla partenza. Con le funzioni continue si ragiona meglio (per iniziare).
E poi, così, ne è venuta fuori una bella discussione critica e dialettica di cui sono molto soddisfatto.
Bye.
E' vero, ne è venuta fuori una bella discussione.
Ora, però, hai stuzicato la mia curiosita ed io spero vivamente che in seguito, ovviamente quando ne avrai voglia, vorrai approfondire questi argomenti con qualche altra "mini dispensa" nel tuo stile magari, come dici tu, partendo dalla misura di Lebesgue. Sono sicuro di non essere il solo a volerne sapere di più
Ciao
Ora, però, hai stuzicato la mia curiosita ed io spero vivamente che in seguito, ovviamente quando ne avrai voglia, vorrai approfondire questi argomenti con qualche altra "mini dispensa" nel tuo stile magari, come dici tu, partendo dalla misura di Lebesgue. Sono sicuro di non essere il solo a volerne sapere di più
Ciao
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo