Spazi compatti e spazi chiusi
In dimensione finita uno spazio compatto è anche chiuso e limitato. Questo risultato noto come teorema di Bolzano-Weierstrass (mi pare) non è valido in dimensione infinita.
La definizione di compattezza in dimensione infinita è: per ogni successione convergente esiste una sottosuccessione che converge.
Un insieme chiuso è un insieme che contiene tutti i suoi punti di accumulazione ovvero (credo) ogni successione convergente converge ad un punto dell'insieme.
Se un insieme è compatto implica che sia anche chiuso o è necessario aggiungere la completezza dello spazio??? qual'è il legame tra insieme compatto e chiuso
La definizione di compattezza in dimensione infinita è: per ogni successione convergente esiste una sottosuccessione che converge.
Un insieme chiuso è un insieme che contiene tutti i suoi punti di accumulazione ovvero (credo) ogni successione convergente converge ad un punto dell'insieme.
Se un insieme è compatto implica che sia anche chiuso o è necessario aggiungere la completezza dello spazio??? qual'è il legame tra insieme compatto e chiuso
Risposte
E' una questione di topologia generale più che di analisi, infatti è in quel contesto che trovi una risposta proprio esauriente. Succede che un sottoinsieme compatto $K$ di uno spazio topologico di Hausdorff $X$ (appartengono a questa classe tutti gli spazi metrici) è sempre chiuso.
Quindi se non ho capito male, un sottoinsieme compatto di uno spazio metrico è chiuso.
E già. Ma questo lo puoi dimostrare anche adesso da solo, in cinque minuti, senza passare da nozioni di topologia generale. Prendi un sottoinsieme compatto $K$ di uno spazio metrico $X$. Se una successione di elementi di $K$ converge, il limite appartiene a $K$? La risposta è si: perché?
"dissonance":
E già. Ma questo lo puoi dimostrare anche adesso da solo, in cinque minuti, senza passare da nozioni di topologia generale. Prendi un sottoinsieme compatto $K$ di uno spazio metrico $X$. Se una successione di elementi di $K$ converge, il limite appartiene a $K$? La risposta è si: perché?
perchè se una successione converge è limitata? e quindi il limite appartiene all'insieme di definizione della successione?...
"dissonance":
E già. Ma questo lo puoi dimostrare anche adesso da solo, in cinque minuti, senza passare da nozioni di topologia generale. Prendi un sottoinsieme compatto $K$ di uno spazio metrico $X$. Se una successione di elementi di $K$ converge, il limite appartiene a $K$? La risposta è si: perché?
Perchè lo spazio è completo e il punto limite appartiene all'insieme?
"Ma.Gi.Ca. D":
[quote="dissonance"]E già. Ma questo lo puoi dimostrare anche adesso da solo, in cinque minuti, senza passare da nozioni di topologia generale. Prendi un sottoinsieme compatto $K$ di uno spazio metrico $X$. Se una successione di elementi di $K$ converge, il limite appartiene a $K$? La risposta è si: perché?
perchè se una successione converge è limitata? e quindi il limite appartiene all'insieme di definizione della successione?...[/quote]
ma questo non vale appunto solo per i compatti ?
io proverei così: ho una successione ${x_j}$ convergente di $K$ compatto, nello spazio metrico $X$, che tende ad $l$.
Supponiamo per assurdo che $l$ non appartenga a $K$. Siccome $K$ è compatto allora ${x_j}$ ammette una sottosuccessione convergente in $K$. Poichè ${x_j}$ tende ad $l$ anche la sottosuccessione deve tendere ad $l$ e quindi $l in K$: Assurdo.
Sbaglio ?
"Ma.Gi.Ca. D":[/quote]
[quote="dissonance"]E già. Ma questo lo puoi dimostrare anche adesso da solo, in cinque minuti, senza passare da nozioni di topologia generale. Prendi un sottoinsieme compatto $K$ di uno spazio metrico $X$. Se una successione di elementi di $K$ converge, il limite appartiene a $K$? La risposta è si: perché?
Per definizione una successione convergente è anche limitata...
Ok la risposta di Rainbow. Le altre due sono sbagliate.
P.S.:
P.S.:
Per definizione una successione convergente è anche limitata...Il risultato è vero, ma non "per definizione". E' una cosa che si dimostra.
E se $X$ è solo uno spazio topologico è ancora vero?
Se è di Hausdorff, si.
"dissonance":Ma non puoi più fare questo discorso di successioni, perché negli spazi topologici la compattezza è in generale cosa diversa dal fatto che ogni successione ha estratte convergenti.
Succede che un sottoinsieme compatto $K$ di uno spazio topologico di Hausdorff $X$ (appartengono a questa classe tutti gli spazi metrici) è sempre chiuso.
si si compattezza sequenziale e compattezza non sono equivalenti negli spazi topologici, questo me lo ricordavo 
però mi stavo chiedendo come si potesse dimostrare senza usare la compattezza sequenziale
però mi stavo chiedendo come si potesse dimostrare senza usare la compattezza sequenziale
Se non mi sbaglio non c'è altro modo! Poi la dimostrazione che hai dato (a meno di miei errori) è conseguenza dell'essere gli spazi metrici degli spazi topologici [tex]$N_1$[/tex].(*)
In generale, un insieme sarebbe compatto in spazio metrico completo se e solo se fosse chiuso ed assolutamente limitato (click)!
§§§
(*) Sai di che parlo?
In generale, un insieme sarebbe compatto in spazio metrico completo se e solo se fosse chiuso ed assolutamente limitato (click)!
§§§
(*) Sai di che parlo?
Mmmm No mi dispiace non ne ho mai sentito parlare...Ma quindi non posso dimostrarlo usando semplicemente nozioni di topologia ? Senza definire una metrica sull'iniseme $X$ ?
No mi dispiace non ne ho mai sentito parlare...Ma quindi non posso dimostrarlo usando semplicemente nozioni di topologia ? Senza definire una metrica sull'iniseme $X$ ?
Esattamente cosa vorresti dimostrare? Che una successione di elementi di un insieme compatto [tex]$K$[/tex] di un generico spazio topologico [tex]$(S;\mathcal{T})$[/tex] converge in [tex]$K$[/tex]?
Si si 
non si può fare usando la definizione di compattezza negli spazi topologici ?
non si può fare usando la definizione di compattezza negli spazi topologici ?
Per concludere il precedente discorso negli spazi metrici (mi sono informato) hai l'equivalenza tra compattezza e sequenziale compattezza o compattezza per successioni.
Data una successione convergente in uno spazio topologico [tex]$(S;\mathcal{T})$[/tex], non è detto che essa converga ad un unico punto.
Ci sono esempi di successioni convergenti in tutto lo spazio topologico ambiente! 
Premesso ciò, non è vero in generale quello che vuoi dimostrare, un esempio scemo: prendi dei punti distinti [tex]$A$[/tex] e [tex]$B$[/tex] di una circonferenza [tex]$\Gamma$[/tex] con la metrica indotta dalla metrica euclidea di [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex], la successione [tex]$\{A;B;A;B;\hdots\}$[/tex] non converge, pur essendo [tex]$\Gamma$[/tex] un insieme compatto!
Data una successione convergente in uno spazio topologico [tex]$(S;\mathcal{T})$[/tex], non è detto che essa converga ad un unico punto.
Ci sono esempi di successioni convergenti in tutto lo spazio topologico ambiente! Premesso ciò, non è vero in generale quello che vuoi dimostrare, un esempio scemo: prendi dei punti distinti [tex]$A$[/tex] e [tex]$B$[/tex] di una circonferenza [tex]$\Gamma$[/tex] con la metrica indotta dalla metrica euclidea di [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex], la successione [tex]$\{A;B;A;B;\hdots\}$[/tex] non converge, pur essendo [tex]$\Gamma$[/tex] un insieme compatto!
"j18eos":
Data una successione convergente in uno spazio topologico [tex]$(S;\mathcal{T})$[/tex], non è detto che essa converga ad un unico punto.
Si ?
Però se prendo uno spazio di Hausdorff allora il limite è unico o ricordo male ?:? P.S. Comunque carino l'esempio
Teorema di Banach-Caccioppoli: Una successione convergente in uno spazio di Hausdorff ammette un unico limite. 
OUT OF SELF: Ma questa discussione non la si può spostare?
OUT OF SELF: Ma questa discussione non la si può spostare?
@j18eos: Ma che fai, tendi trappole? 
Il nocciolo della questione è: è vero che un sottoinsieme compatto di uno spazio topologico è chiuso?
La risposta, come dicevamo, è si negli spazi di Hausdorff. Il che contiene il caso particolare degli spazi metrici già visto qualche post fa, ma la dimostrazione di questo caso generale deve essere completamente diversa per due motivi.
[list=1][*:3rh194rm]In uno spazio topologico non metrizzabile, non è detto che un sottoinsieme chiuso per successioni sia chiuso. Esistono cioè spazi topologici contenenti sottoinsiemi non chiusi ma tali che ogni loro successione convergente converge ad un punto del sottoinsieme. [/*:m:3rh194rm]
[*:3rh194rm]In uno spazio topologico non metrizzabile, non è detto che un sottoinsieme compatto sia compatto per successioni e viceversa. Anzi si trovano esempi tali da dimostrare che in generale questi concetti sono completamente scorrelati.[/*:m:3rh194rm][/list:o:3rh194rm]Infatti la dimostrazione del teorema nel caso generale procede fissando un punto $P$ nel complementare del sottoinsieme compatto $K$ e trovandone un intorno aperto tutto contenuto nel suddetto insieme complementare. A questo scopo si usa la proprietà di Hausdorff per separare ogni punto di $K$ da $P$, costruendo così un ricoprimento aperto di $K$ dal quale estrarre un sottoricoprimento finito. Da qui a trovare un intorno con le proprietà richieste il passo è breve. Si tratta comunque di una dimostrazione classica che si può trovare su tutti i testi di topologia generale.
Ci si può chiedere se la richiesta di avere uno spazio di Hausdorff sia strettamente necessaria. La risposta è si: un esempio molto semplice è uno spazio $X={a, b}$ munito della topologia banale ${emptyset, X}$. Allora il sottoinsieme ${a}$ è compatto ma non è chiuso.
P.S.: Un risultato tanto ovvio, addirittura attribuito a Banach e anche a Caccioppoli!
Ti stai confondendo, Armando, mi sa.
"j18eos":Mica si parlava di questo. E' chiaro che una tale proposizione è falsa in tutti gli spazi topologici non banali. Anche il problema dell'assioma N1 e della caratterizzazione della compattezza negli spazi metrici completi non sono necessari e buttandoli lì così confondiamo solo le acque. Cerchiamo anche di evitare le eccessive divagazioni.
Esattamente cosa vorresti dimostrare? Che una successione di elementi di un insieme compatto [tex]$K$[/tex] di un generico spazio topologico [tex]$(S;\mathcal{T})$[/tex] converge in [tex]$K$[/tex]?
Il nocciolo della questione è: è vero che un sottoinsieme compatto di uno spazio topologico è chiuso?
La risposta, come dicevamo, è si negli spazi di Hausdorff. Il che contiene il caso particolare degli spazi metrici già visto qualche post fa, ma la dimostrazione di questo caso generale deve essere completamente diversa per due motivi.
[list=1][*:3rh194rm]In uno spazio topologico non metrizzabile, non è detto che un sottoinsieme chiuso per successioni sia chiuso. Esistono cioè spazi topologici contenenti sottoinsiemi non chiusi ma tali che ogni loro successione convergente converge ad un punto del sottoinsieme. [/*:m:3rh194rm]
[*:3rh194rm]In uno spazio topologico non metrizzabile, non è detto che un sottoinsieme compatto sia compatto per successioni e viceversa. Anzi si trovano esempi tali da dimostrare che in generale questi concetti sono completamente scorrelati.[/*:m:3rh194rm][/list:o:3rh194rm]Infatti la dimostrazione del teorema nel caso generale procede fissando un punto $P$ nel complementare del sottoinsieme compatto $K$ e trovandone un intorno aperto tutto contenuto nel suddetto insieme complementare. A questo scopo si usa la proprietà di Hausdorff per separare ogni punto di $K$ da $P$, costruendo così un ricoprimento aperto di $K$ dal quale estrarre un sottoricoprimento finito. Da qui a trovare un intorno con le proprietà richieste il passo è breve. Si tratta comunque di una dimostrazione classica che si può trovare su tutti i testi di topologia generale.
Ci si può chiedere se la richiesta di avere uno spazio di Hausdorff sia strettamente necessaria. La risposta è si: un esempio molto semplice è uno spazio $X={a, b}$ munito della topologia banale ${emptyset, X}$. Allora il sottoinsieme ${a}$ è compatto ma non è chiuso.
P.S.: Un risultato tanto ovvio, addirittura attribuito a Banach e anche a Caccioppoli!
Ti stai confondendo, Armando, mi sa.
Lo sò, ho divagato troppo, è un mio difetto; sommato al fatto che non abbia capito appieno la questione.
EDIT: Avevo sbagliato sorriso!
"dissonance":No no no, ho visto sugli appunti! Me ne lavo le mani!
P.S.: Un risultato tanto ovvio, addirittura attribuito a Banach e anche a Caccioppoli!
Ti stai confondendo, Armando, mi sa.
EDIT: Avevo sbagliato sorriso!
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