Spazi compatti e spazi chiusi

[erotavlas1]

In dimensione finita uno spazio compatto è anche chiuso e limitato. Questo risultato noto come teorema di Bolzano-Weierstrass (mi pare) non è valido in dimensione infinita.
La definizione di compattezza in dimensione infinita è: per ogni successione convergente esiste una sottosuccessione che converge.

Un insieme chiuso è un insieme che contiene tutti i suoi punti di accumulazione ovvero (credo) ogni successione convergente converge ad un punto dell'insieme.

Se un insieme è compatto implica che sia anche chiuso o è necessario aggiungere la completezza dello spazio??? qual'è il legame tra insieme compatto e chiuso

[RainbowInTheDark]

Ottimo comunque penso di si...mi sta venendo in mente una domanda ma missà che è meglio che apra un altro post

[j18eos]

@RainbowInTheDark Io spero di non averti confuso le idee! Tanto a dissonance le confondo sempre.

Ora basta! Mi ritiro prima che faccia veramente male a qualcuno.

[RainbowInTheDark]

No no non preoccuparti Grazie anzi che mi hai fatto ripassare un po' di topologia che fa sempre bene

[j18eos]

Se lo scrivi tu... prego di nulla; con la promessa di (tentare almeno) di non divagare quando non capisco l'oggetto di una discussione!

[erotavlas1]

"dissonance":Ok la risposta di Rainbow. Le altre due sono sbagliate.

P.S.:

Per definizione una successione convergente è anche limitata...

Il risultato è vero, ma non "per definizione". E' una cosa che si dimostra.

Utilizzando la definizione di successione convergente si arriva a far vedere che anche limitata.

Data una successione di numeri reali [tex]$ {a_{n}}$[/tex] si dice che essa converge a [tex]$ \eta $[/tex] se [tex]$ \forall \epsilon > 0[/tex], esiste un indice [tex]$ n_{0}(\epsilon) \in N $[/tex] tale che per [tex]$ n>n_{0} $[/tex] si ha [tex]$ |{ a_{n} - \eta \ |} < \epsilon $[/tex]. Da qui si ha anche la limitatezza essendo i termini della successione concentrati nell'intervallo [tex]$ \eta -\epsilon < { a_{n} < \eta \ + \epsilon $[/tex]