Sottovarietà e superfici immerse
Salve a tutti.
Non riesco a capire queste due definizioni che riporto qui di seguito:
1) $ S $ è una r-sottovarietà $ C^1 $ di $ RR^n $ se per ogni $ x in S $ esiste un aperto $ Omega_x sub RR^n $ tale che $ Omega_x nnS $ è diffeomorfo ad un aperto $ U sub RR^r $. r è la dimensione della sottovarietà $ S $.
2) Sia $ Omega subRR^r $ aperto e sia $ phi:Omega->RR^n $ di classe $ C^1 $. Si dice che $ phi $ è una immersione se $ phi $ è iniettiva e per ogni $ u in Omega $ esiste $ delta>0 $ tale che la restrizione di $ phi $ a $ B(u,delta) $ è un diffeomorfismo. L'immagine $ phi(Omega) $ di una immersione $ phi $ si chiama una r-superficie immersa di $ RR^n $. Il numero r è la dimensione della r-superficie immersa $ phi(Omega) $ .
Cosa vogliono dire queste due definizioni, cioè qual è una loro interpretazione grafica ? Per cosa vengono utilizzate sottovarietà e superfici immerse?
Grazie mille.
Non riesco a capire queste due definizioni che riporto qui di seguito:
1) $ S $ è una r-sottovarietà $ C^1 $ di $ RR^n $ se per ogni $ x in S $ esiste un aperto $ Omega_x sub RR^n $ tale che $ Omega_x nnS $ è diffeomorfo ad un aperto $ U sub RR^r $. r è la dimensione della sottovarietà $ S $.
2) Sia $ Omega subRR^r $ aperto e sia $ phi:Omega->RR^n $ di classe $ C^1 $. Si dice che $ phi $ è una immersione se $ phi $ è iniettiva e per ogni $ u in Omega $ esiste $ delta>0 $ tale che la restrizione di $ phi $ a $ B(u,delta) $ è un diffeomorfismo. L'immagine $ phi(Omega) $ di una immersione $ phi $ si chiama una r-superficie immersa di $ RR^n $. Il numero r è la dimensione della r-superficie immersa $ phi(Omega) $ .
Cosa vogliono dire queste due definizioni, cioè qual è una loro interpretazione grafica ? Per cosa vengono utilizzate sottovarietà e superfici immerse?
Grazie mille.
Risposte
Non ne so molto, in attesa di qualcuno più esperto ti rispondo un po' approssimativamente.
Le due definizioni sono diversi modi di definire una sottovarietà di \(\mathbb{R}^n\). La prima parte dall'insieme \(S \subseteq \mathbb{R}^n\) e ci dice quali proprietà deve avere, ovvero che localmente deve essere diffeomorfa a \( \mathbb{R}^r\). La seconda parte invece dal concetto di funzione (parametrizzazione) per definire poi la varietà come l'immagine della funzione \(\varphi(\Omega)\).
Si può dire che fanno il ragionamento inverso per introdurre lo stesso concetto, ovvero quello di varietà. Per raffigurartelo poni \(r = 2\) e \(n = 3\). In questo caso avrai una superficie in \(\mathbb{R}^3\) che è diffeomorfa localmente ad \(\mathbb{R}^2\), o per dirla alla maniera dei fisici, ha solo due gradi di libertà.
Le due definizioni sono diversi modi di definire una sottovarietà di \(\mathbb{R}^n\). La prima parte dall'insieme \(S \subseteq \mathbb{R}^n\) e ci dice quali proprietà deve avere, ovvero che localmente deve essere diffeomorfa a \( \mathbb{R}^r\). La seconda parte invece dal concetto di funzione (parametrizzazione) per definire poi la varietà come l'immagine della funzione \(\varphi(\Omega)\).
Si può dire che fanno il ragionamento inverso per introdurre lo stesso concetto, ovvero quello di varietà. Per raffigurartelo poni \(r = 2\) e \(n = 3\). In questo caso avrai una superficie in \(\mathbb{R}^3\) che è diffeomorfa localmente ad \(\mathbb{R}^2\), o per dirla alla maniera dei fisici, ha solo due gradi di libertà.
Sono comunque due cose molto diverse; la prima (sottovarietà) è un sottoinsieme, la seconda (immersione) è una applicazione.
Continuo a non capirci nulla o quasi 
Conoscete delle pagine internet dove potrei trovare qualcosa ?
Questa pagina di wikipedia http://it.wikipedia.org/wiki/Variet%C3%A0_(geometria) è inerente?
Conoscete delle pagine internet dove potrei trovare qualcosa ?
Questa pagina di wikipedia http://it.wikipedia.org/wiki/Variet%C3%A0_(geometria) è inerente?
Scusate è che queste definizioni vengono richiamate varie volte nel testo, nessuno sa dirmi nulla?
Un esempio del primo sono la sfera, il piano, un elissoide, un toro (quella sorta di ciambella), un iperboloide ad una falda, un cilindro e similari. Ovviamente nel caso di \(\mathbb{R}^3\). Se tu prendi un punto di questi oggetti e consideri l'intersezione di un palla aperta centrata in quel punto sufficientemente piccola con l'oggetto in sé ti ritrovi con qualcosa che è molto simile ad un foglio di carta piegato (insomma un piano). Il diffeomorfismo descrive il concetto di molto simile. Ovviamente questo è una generalizzazione. Ti suggerisco però di ragionarci un po' perché questo è un modo di spiegarlo molto molto terra terra.
Per il secondo pensa all'intero \(\mathbb{R}^2\) e al grafico di una funzione differenziale con valori reali. La funzione \((x,y)\mapsto (x,y,f(x,y))\) è una immersione.
Per il secondo pensa all'intero \(\mathbb{R}^2\) e al grafico di una funzione differenziale con valori reali. La funzione \((x,y)\mapsto (x,y,f(x,y))\) è una immersione.
Ok grazie mille, le nozioni di sotto varietà e di varietà sono equivalenti ? E' inerente la pagina di wikipedia http://it.wikipedia.org/wiki/Variet%C3%A0_(geometria) ?
Si dice che una varietà \(M\) è una sotto varietà di \(N\) quando \(M \subseteq N\). Sì la pagina che hai linkato è inerente ma tratta il concetto di varietà in generale, dove \(M\) è un inseme qualsiasi, mentre del tuo caso le cose si semplificano un bel po' essendo \(M \subseteq \mathbb{R}^n\) ed essendo le tue varietà differenziabili. In genere nei testi di Analisi 2 trovi un po' di sta roba... Stai seguendo qualche corso? Hai un testo?
Hai perfettamente ragione, distrattamente mi ero soffermato solo sulle parole "sottovarietà" e "$r$-superficie". Mea culpa
"dissonance":
Sono comunque due cose molto diverse; la prima (sottovarietà) è un sottoinsieme, la seconda (immersione) è una applicazione.
Hai perfettamente ragione, distrattamente mi ero soffermato solo sulle parole "sottovarietà" e "$r$-superficie". Mea culpa
Si ho seguito il corso di analisi 2 tenuto dal professore Giuseppe Modica presso l'università di firenze, il libro che uso è proprio il Giaquinta-Modica "Note di analisi matematica: funzioni di più variabili". Questo libro lo trovo un pò tosto, quindi ho pensato di prendermi anche il Pagani-Palsa (ed 1995) che mi sembra veramente buono. Ti sembrano opportuni come libri ?
Grazie ancora.
Grazie ancora.
Premetto ancora una volta che non sono un esperto, quindi prendi quel che dico un po'con le pinze.
Il Giaquinta-Modica non lo conosco. Io ho usato, e sto usando tutt'ora il Pagani-Salsa e mi trovo bene, completo, preciso, chiaro. Su questi argomenti però non ha un taglio troppo geometrico. Le cose vengono trattate ma non si parla, se non di striscio, di varietà, immersioni e sommersioni. Tratta abbastanza bene le curve e le superfici parametriche, e un po' le curve e superfici in forma cartesiana nel primo volume. È un ottimo acquisto, ma se il tuo corso verte su queste nozioni forse vi sono testi più adatti. Magari altri sanno darti qualche consiglio
In tanto su queste cose prova a dare un occhio a queste note, potrebbero aiutarti: link (p. 78).
Se vuoi approfondire queste nozioni di geometria differenziale in \(\mathbb{R}^n\) trovi trattato molto bene in Do Carmo, "Differential Geometry of Curves and Surfaces" e ne Abate, Tovena "Curve e Superfici" (troppo formale e pedante secondo me).
Il Giaquinta-Modica non lo conosco. Io ho usato, e sto usando tutt'ora il Pagani-Salsa e mi trovo bene, completo, preciso, chiaro. Su questi argomenti però non ha un taglio troppo geometrico. Le cose vengono trattate ma non si parla, se non di striscio, di varietà, immersioni e sommersioni. Tratta abbastanza bene le curve e le superfici parametriche, e un po' le curve e superfici in forma cartesiana nel primo volume. È un ottimo acquisto, ma se il tuo corso verte su queste nozioni forse vi sono testi più adatti. Magari altri sanno darti qualche consiglio
In tanto su queste cose prova a dare un occhio a queste note, potrebbero aiutarti: link (p. 78).
Se vuoi approfondire queste nozioni di geometria differenziale in \(\mathbb{R}^n\) trovi trattato molto bene in Do Carmo, "Differential Geometry of Curves and Surfaces" e ne Abate, Tovena "Curve e Superfici" (troppo formale e pedante secondo me).
"Emar":
Si dice che una varietà \(M\) è una sotto varietà di \(N\) quando \(M \subseteq N\).
Questo è vero quando ti limiti alla struttura topologica, ma qui si sta parlando di varietà differenziabili. Se uno definisse una sottovarietà cosi' come hai fatto tu andrebbe incontro a un sacco di guai ( [url=https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=37&t=48599]esempio[\url]). Ci vuole qualche condizione di compatibilità della topologia del sottoinsieme con la struttura differenziabile dell'ambiente.
Nel caso specifico, come hai notato tu, siamo nel contesto delle sottovarietà dello spazio euclideo e quindi queste condizioni di compatibilità si esprimono dicendo che si devono poter trovare localmente in ogni punto delle carte sufficientemente regolari, ovvero la definizione di "sottovarietà" data dall'OP.
Questo è detto un po' alla grossa. Per capirci qualcosa in piu' suggerisco di leggere almeno l'introduzione di qualche manuale di geometria differenziale, cosi' uno capisce da dove vengono queste idee. Poi probabilmente queste nozioni non serviranno ma almeno una volta conviene vederle. Io suggerisco di dare una scorsa ai primi due capitoli di Spivak, A comprehensive introduction to differential geometry.
"Emar":
Abate, Tovena "Curve e Superfici" (troppo formale e pedante secondo me).
Per il corso di Analisi 2 probabilmente si, per quello di geometria differenziale è anche fin troppo didattico[nota]Esagero un po' con il didattico, insomma è molto buono per la prima parte, ma se vuoi approfondire devi passare ad altro.[/nota].
"Meetmat":
Salve a tutti.
Non riesco a capire queste due definizioni che riporto qui di seguito:
1) $ S $ è una r-sottovarietà $ C^1 $ di $ RR^n $ se per ogni $ x in S $ esiste un aperto $ Omega_x sub RR^n $ tale che $ Omega_x nnS $ è diffeomorfo ad un aperto $ U sub RR^r $. r è la dimensione della sottovarietà $ S $.
2) Sia $ Omega subRR^r $ aperto e sia $ phi:Omega->RR^n $ di classe $ C^1 $. Si dice che $ phi $ è una immersione se $ phi $ è iniettiva e per ogni $ u in Omega $ esiste $ delta>0 $ tale che la restrizione di $ phi $ a $ B(u,delta) $ è un diffeomorfismo. L'immagine $ phi(Omega) $ di una immersione $ phi $ si chiama una r-superficie immersa di $ RR^n $. Il numero r è la dimensione della r-superficie immersa $ phi(Omega) $ .
Cosa vogliono dire queste due definizioni, cioè qual è una loro interpretazione grafica ? Per cosa vengono utilizzate sottovarietà e superfici immerse?
Grazie mille.
Rispondo anch'io così aggiungo un po' di confusione ..
La definizione 1) è la definizione di sottovarietà o varietà immersa di dimensione $r$ nello spazio $R^n$ (pensa alla sfera bidimensionale immersa in $R^3$). La definizione dice che per ogni punto $P$ della superficie $S$ esiste un suo intorno $V$ in $S$
(e cioè esiste un intorno $U$ di $P$ in $R^n$ tale che $V=U\cap S$) che è diffeomorfo a un aperto $V_1$ dello spazio $R^r$. Nel caso della sfera vedi facilmente che questo è vero NONOSTANTE la sfera non sia diffeomorfa a un aperto di $R^2$ - però essa si ottiene sovrapponendo due "toppe" ognuna omeomorfa a un disco di $R^2$ (puoi prendere $S_1=\{x^2+y^2+z^2=1,z> -1/2\}$ e $S_2=\{x^2+y^2+z^2=1,z<1/2\}$).
La definizione 2) riguarda il caso particolare in cui tutta $S$ è diffeormorfa a un aperto di $R^r$ ("la puoi descrivere con un'unica parametrizzazione"). Dunque, con questo linguaggio, ogni sottovarietà di dimensione $r$ è localmente una $r$-superficie.
C'è poi da dire che le varietà si definiscono senza vederle immerse nello spazio $R^n$ (come fatto nella 1), solo che $S$ è uno spazio topologico e quindi gli intorni non si ottengono dall'ambiente $R^n$). Per esempio la bottiglia di Klein è una varietà di dimesione $2$ che non è una sottovarietà di $R^3$. C'è un teorema famoso - vedi http://en.wikipedia.org/wiki/Whitney_embedding_theorem(di cui peraltro non ho mai studiato la dim. ...) che dice che le varietà di dimensione $r<+\infty$ si possono immergere in $R^{2r}$.
Grazie a tutti.
"vict85":
[quote="Emar"]Abate, Tovena "Curve e Superfici" (troppo formale e pedante secondo me).
Per il corso di Analisi 2 probabilmente si, per quello di geometria differenziale è anche fin troppo didattico.[/quote]
Certo hai ragione. Infatti io intendevo per approfondire curve e superfici non di più. Posseggo il testo ma non mi entusiasma (sto pure cercando di venderlo
), come dicevo trovo molto più bello il Do Carmo (sempre per riscaldarsi prima della vera geometria differenziale).@dissonance:
[ot]
"dissonance":
Questo è detto un po' alla grossa. Per capirci qualcosa in piu' suggerisco di leggere almeno l'introduzione di qualche manuale di geometria differenziale, cosi' uno capisce da dove vengono queste idee. Poi probabilmente queste nozioni non serviranno ma almeno una volta conviene vederle. Io suggerisco di dare una scorsa ai primi due capitoli di Spivak, A comprehensive introduction to differential geometry.
Ti ringrazio. È nella mia todo list studiarmi geometria differenziale, appena si calmeranno le acque lo farò. Sicuramente consulterò i volumi di Spivak, nel frattempo mi sono procurato i 3 testi di Do Carmo di cui mi sono innamorato.
Ad esempio riporta questa definizione di sottovarietà:
Può andare?
Ti ringrazio[/ot]
Si, può andare.
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