Sottoinsiemi di insiemi di misura nulla secondo Peano-Jordan

[Bianco17]

Salve a tutti! Ho trovato una dimostrazione simpatica della caratterizzazione degli insiemi misurabili secondo Peano-Jordan mediante la trascurabilità secondo Lebesgue della frontiera. In questa, si fa riferimento al seguente fatto:

Un sottoinsieme di un insieme in $\RR^n$ di misura nulla secondo Peano-Jordan è ancora misurabile con misura nulla.

Questo mi ha destato qualche perplessità perché ricordavo che, durante le lezioni, la prof ha insistito molto sull'importanza di questa proprietà, sottolineando che tale è uno dei notevoli punti a favore della teoria di Lebesgue contro quella di Peano-Jordan. Pertanto, ho provato a verificare quanto scritto sopra rivolgendomi direttamente alla definizione procedendo così:

Siano $E\subseteq\RR^n$ misurabile secondo Peano-Jordan con $m(E)=0$ ed $F\subseteq E$: per trovare che $F$ è misurabile con $m(F)=0$ è sufficiente provare che \(m_e(F):=\inf\{m(P)\,|\,P\,\text{plurintervallo},\, F\subseteq P\}=0\) in quanto così risulterà \[0\leq m_i(F)\leq m_e(F)=0\] dove \(m_i(F):=\sup\{m(P)\,|\,P\,\text{plurintervallo},\, P\subseteq F\}\) e quindi $m(F)=m_i(F)=m_e(F)=0$. Quindi sia \(\varepsilon>0\) fissato: poiché $m_e(E)=m(E)=0$, esiste un plurintervallo $P\subseteq\RR^n$ che contiene $E$ per cui \(m(P)<\varepsilon\). Dunque, abbiamo trovato un plurintervallo che contiene $F$ con misura minore di $\varepsilon$ il che, dall'arbitrarietà di $\varepsilon$ implica che $m_e(F)=0$.

Che ne dite, può essere un buon ragionamento? Inoltre, vorrei sapere se c'è effettivamente qualche notevole proprietà degli insiemi con misura nulla secondo Lebesgue che non vale più per quelli secondo Peano-Jordan (io ho pensato che l'unione numerabile di insiemi con misura nulla secondo Peano Jordan potrebbe non essere più a misura nulla). Vi ringrazio già per qualsiasi consiglio

[otta96]

Il ragionamento fila, ed in effetti questa è una proprietà importante, si chiama completezza della misura, ma anche quella di Peano-Jordan ce l'ha. L'unione numerabile di insiemi con misura nulla secondo Peano Jordan non può essere a misura positiva, ma può non essere misurabile.
Inoltre vale un analogo che dice che un insieme è Lebbesgue-misurabile se e solo se lo è la sua frontiera.

[dissonance]

Ma Peano-Jordan non è una misura,nel senso che non è una funzione numerabilmente additiva. In questo senso non si può certo dire che è una misura completa, non essendo una misura.

Io direi che è esattamente questo il problema con Peano-Jordan. Difatti non essendoci numerabile additività non c'è neanche il teorema della convergenza monotona, quindi neanche la convergenza dominata. Si arriva così alla conseguenza realmente disastrosa: gli spazi Lp non sono completi.