Sostituzione per integrali multipli

[antonio9992]

Sia data f(x,y,z)

E x,y,z funzioni di u,v,w

Estremi a parte vale la formula:

$ int int int_()^() f(x,y,z)dx dy dz =int int int_()^()f(u,v,w) |J|du dv dw $

Ma ciò come si dimostra?

Per le proprietà del prodotto misto e per il teorema di Taylor vale:

$ lim_(dx,dy,dz -> 0) (dxdydz-dudvdw|J|)/(dxdydz) $

Si dovrebbe scrivere x(t),y(t),z(t) e far tendere t a zero, e quindi anche dx,dy,dz tendono a zero.

Neanche questa relazione è facile da dimostrare, qualcuno conosce la dimostrazione?

[javicemarpe]

Check this short and easy proof:

http://actamath.savbb.sk/pdf/acta1906.pdf

Also, you can find a more classical (and general) one in the book of Rudin (Real and Complex Analysis).

[antonio9992]

Qui si parla di integrale di Lebesgue, è necessario per tale dimostrazione o c'è un metodo alternativo?

[javicemarpe]

All proofs I know works for the Lebesgue integral. Maybe there's someone here who knows some proof for only Riemann integral.

[antonio9992]

Nel caso di una dimensione volevo partire da questa considerazione:

$ lim_(n -> infty) sum_(i = n ) f(x_i)∆x=lim_(n -> infty) sum_(i =n) ((partial x)/(partial t))_i f(x_i)∆t $

Dove n sono il numero di partizioni ed $ x_i $ una x dell'i-esima partizione, mentre $ ((partial x)/(partial t))_i $ la derivata calcolata nell'estremo sinistro dell'i-esima partizione rispetto a t.



So che la definizione di integrale fa uso del concetto di elemento separatore di somma superiore ed inferiore


Non è facile.