Sostituzione in EDO

[.Ruben.17]

Ciao!
qui: http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode/ode0220.pdf

si parte dall'eq.
$(ax^2 + b)(d^2y)/(dx^2) + ax (dy)/(dx) + cy = 0$
si arriva a:
$(d^2y)/(dz^2) + cy=0$
con la sostituzione $dx=dz \sqrt{ax^2+b}$
Purtroppo non riesco a capire come con i calcoli si possa arrivare dalla prima alla seconda forma
Qualcuno che può aiutarmi a risolvere l'incomprensione?

[coffee2]

$dx=\sqrt{ax^2+b}dz$ è un modo per dire che il cambio di variabile $\phi:z\mapsto x=\phi(z)$ è una funzione derivabile che soddisfa $\frac{d\phi}{dz}(z)=\sqrt{a\phi(z)^2+b}$.

Se $y$ è una funzione due volte derivabile, $\frac{d^2(y\circ\phi)}{dz^2}(z)=\frac{d}{dz}(\frac{d(y\circ\phi)}{dz})(z)=\frac{d}{dz}((\frac{dy}{dx}\circ\phi)\cdot\frac{d\phi}{dz})(z)$, derivo il prodotto e uso ancora la regola della catena e ottengo $\frac{d^2y}{dx^2}(\phi(z))\cdot[\frac{d\phi}{dz}(z)]^2+\frac{dy}{dx}(\phi(z))\cdot\frac{d^2\phi}{dz^2}(z)$.

Ora mi ricordo che $\phi(z)$ è quello che ho chiamato $x$, che $\frac{d\phi}{dz}(z)=\sqrt{a\phi(z)^2+b}$ e che di conseguenza $\frac{d^2\phi}{dz^2}(z)=a\phi(z)$

[dissonance]

La risposta di coffee è corretta e io la riscriverei più concisamente così:
\[
\frac{d^2 y}{dz^2} = \frac{d}{dz} \frac{dy}{dz} = \sqrt{ax^2+ b} \frac{d}{dx} \left( \sqrt{ax^2+b}\frac{dy}{dx}\right) = (ax^2+b)\frac{d^2y}{dx^2} + ax\frac{dy}{dx}.\]