Sono ....carine

[Sk_Anonymous]

No,non e' un nuovo quesito ma solo una coda al
post di lore "Sembra facile"
Si tratta di due formule (facilmente dimostrabili) che ,benche' siano
riferite a particolari integrali trattabili per parti (o per ricorsione),
possono servire di controllo e fanno risparmiare tempo.Eccole:
1)$int t^n e^tdt=e^t[t^n-nt^(n-1)+n(n-1)t^(n-2)+.....+(-1)^n n!]+C$
In questa formula ogni termine della parentesi quadra,escluso ovviamente il primo,e'
la derivata cambiata di segno del termine precedente ,fino ad arrivare ad una costante.
Esempio:
$int t^5 e^t dt=e^t[t^5-5t^4+20t^3-60t^2+120t-120]+C$
Ora provate a farlo per parti ma tenete d'occhio..... il cronometro

2)$int t^n e^(-t) dt=-e^(-t)[t^n+nt^(n-1)+n(n-1)t^(n-2)+.....+n!]+C$
Questa seconda formula differisce dalla prima perche' inizia col "meno" e i termini
entro la parentesi quadra sono ,come prima,ciascuno la derivata del precedente
senza cambio di segno.
Esempio:
$int t^6 e^(-t) dt=-e^(-t)[t^6+6t^5+30t^4+120t^3+360t^2+720t+720]+C$
Anche qua' ,se lo fate per parti,date uno sguardo all'orologio....
Niente di eccezionale quindi ma solo due simpatiche formulette (a mio avviso)
che si ricordano facilmente usando il metodo delle derivata che ho evidenziato.
karl

[carlo232]

"karl":No,non e' un nuovo quesito ma solo una coda al
post di lore "Sembra facile"
Si tratta di due formule (facilmente dimostrabili) che ,benche' siano
riferite a particolari integrali trattabili per parti (o per ricorsione),
possono servire di controllo e fanno risparmiare tempo.Eccole:
1)$int t^n e^tdt=e^t[t^n-nt^(n-1)+n(n-1)t^(n-2)+.....+(-1)^n n!]+C$
In questa formula ogni termine della parentesi quadra,escluso ovviamente il primo,e'
la derivata cambiata di segno del termine precedente ,fino ad arrivare ad una costante.
Esempio:
$int t^5 e^t dt=e^t[t^5-5t^4+20t^3-60t^2+120t-120]+C$
Ora provate a farlo per parti ma tenete d'occhio..... il cronometro

2)$int t^n e^(-t) dt=-e^(-t)[t^n+nt^(n-1)+n(n-1)t^(n-2)+.....+n!]+C$
Questa seconda formula differisce dalla prima perche' inizia col "meno" e i termini
entro la parentesi quadra sono ,come prima,ciascuno la derivata del precedente
senza cambio di segno.
Esempio:
$int t^6 e^(-t) dt=-e^(-t)[t^6+6t^5+30t^4+120t^3+360t^2+720t+720]+C$
Anche qua' ,se lo fate per parti,date uno sguardo all'orologio....
Niente di eccezionale quindi ma solo due simpatiche formulette (a mio avviso)
che si ricordano facilmente usando il metodo delle derivata che ho evidenziato.
karl

Simpatiche formulette le chiami, ma in realtà nascondono qualcosa di molto complesso. Guarda caso $Gamma(s)=int_0^infty t^{s-1} e^-t dt$, e la funzione Gamma ha una moltitudine di legami con le funzioni zeta tali da renderla quantomeno necessaria in molti campi matematici, tra cui l'affascinante Teoria Analitica dei Numeri.

Ciao Ciao

[eafkuor1]

Cosa indica la lettera $t$ nella funzione $Gamma$?

[carlo232]

"eafkuor":Cosa indica la lettera $t$ nella funzione $Gamma$?

Un differenziale perduto...

[Sk_Anonymous]

Non vorrei sbagliare ma la t rappresenta solo la variabile rispetto a cui
si fa l'integrazione dopo di che la funzione $Gamma$ viene a dipendere
dalla variabile s .A rigore la t e' la cosiddetta variabile muta e puo'
essere sostituita da una qualsiasi altra lettera e non mi pare che
abbia un significato particolare.
Molto bello il riferimento di carlo23 alla funzione $Gamma$
karl

[carlo232]

"karl":Non vorrei sbagliare ma la t rappresenta solo la variabile rispetto a cui
si fa l'integrazione dopo di che la funzione $Gamma$ viene a dipendere
dalla variabile s .A rigore la t e' la cosiddetta variabile muta e puo'
essere sostituita da una qualsiasi altra lettera e non mi pare che
abbia un significato particolare.

Si infatti $t$ può essere sostituita da qualsiasi altra lettera (tranne $s$ ovviamente ), come del resto vale per l'indice in una sommatoria.