Sommatoria con fattoriale

[fewdewfewfsefui]

Ciao a tutti. Avrei bisogno di una mano per risolvere questo esercizio :

$\sum_{k=1}^n k/((k+1)!)$

trovando una formula che dipenda solo da n. Come posso fare? Ho provato a scrivere al denominatore $(k+1) (k) (k-1)!$ per semplificare k, ma da lì faccio pochi progressi...

[kobeilprofeta]

N=1: $1/2$
N=2: $1/2+2/6=5/6$
N=3: $1/2+2/6+3/24=23/24$

Da qua ipotizzo un $1-frac {1}{(n+1)!} $


Andrebbe dimostrato per induzione
provaci

[fewdewfewfsefui]

Ciao, grazie per la risposta. L'ideale però sarebbe arrivare ad un risultato sfruttando le proprietà della sommatoria e un po' di algebra riusciresti a darmi dei consigli per risolverlo in questo modo?

[fewdewfewfsefui]

In ogni caso, sono riuscito a dimostrarlo per induzione quindi mille grazie per l'aiuto comunque...

[kobeilprofeta]

Prego. Sono partito così perchè non sapevo come andare.

Se non sai come muoverti fai un paio di conti coi numeri semplici segnati i risultati e cerca di ricavare una legge; come ho fatto io

[theras]

In alternativa potreste osservare come la somma sia "telescopica" avendosi,per ogni n non nullo fissato a piacere nei naturali,$"k"/"(k+1)!""=""(k+1)-1"/"(k+1)k!""=""k+1"/"(k+1)k!""-""1"/"(k+1)k!""=""1"/"k!""-""1"/"(k+1)!"" "AA"k"in"{1,...,n}"Rightarrow$
$Rightarrow sum_{"k" in "{1,...,n}"}"k"/"(k+1)!""="sum_{"k" in "{1,...,n}"}"[""1"/"k!""-""1"/"(k+1)!""]""=(1-""1"/"2"")+(""1"/"2""-""1"/"6"")+...+[""1"/"(n-1)!""-""1"/"n!""]+[""1"/"n!""-""1"/"(n+1)!""]="$
$"=1-(" "1"/"2""-""1"/"2"")-...-(""1"/"n!""-""1"/"n!"")-""1"/"(n+1)!""=1-""1"/"(n+1)!"$:
è una procedura che spesso si prova ad adottare,in casi del genere(se il generico addendo è "telescopizzabile")..
Saluti dal web.