Sommabilità secondo Riemann e Lebesgue
Salve a tutti sto avendo qualche difficoltà riguardo questi due concetti.
Per quanto riguarda la sommabilità secondo Riemann non capisco mai quale criterio dover applicare, mi spiego meglio, nel caso di
$\int_-infty^(+infty) 1/(x^3-1)dx$
vedo subito che la funzione non è definita in x=1, quindi devo vedere se la funzione $f(x)=1/(x^3-1)$ è integrabile in $-infty$, $1$ e $+infty$, ecco a questo punto mi blocco, in quanto in analisi 1 mi è stato spiegato di utilizzare i seguenti criteri
$\lim_{x \to \+-infty} f(x)*x^\alpha $
e
$\lim_{n \to \1} f(x)*(x-1)^\beta$
E vedere per quali valori dei parametri questi limiti sono nulli.E' corretto il mio ragionamento?
Per quanto riguarda Lebesgue non so proprio come verificare che una funzione sia sommabile secondo Lebesgue, non mi riferisco a quella definita precedentemente, ma mi capita spesso di dover fare delle trasformate di Fourier in cui devo verificare la sommabilità secondo Lebesgue.
Ringrazio anticipatamente chiunque mi possa aiutare.
Per quanto riguarda la sommabilità secondo Riemann non capisco mai quale criterio dover applicare, mi spiego meglio, nel caso di
$\int_-infty^(+infty) 1/(x^3-1)dx$
vedo subito che la funzione non è definita in x=1, quindi devo vedere se la funzione $f(x)=1/(x^3-1)$ è integrabile in $-infty$, $1$ e $+infty$, ecco a questo punto mi blocco, in quanto in analisi 1 mi è stato spiegato di utilizzare i seguenti criteri
$\lim_{x \to \+-infty} f(x)*x^\alpha $
e
$\lim_{n \to \1} f(x)*(x-1)^\beta$
E vedere per quali valori dei parametri questi limiti sono nulli.E' corretto il mio ragionamento?
Per quanto riguarda Lebesgue non so proprio come verificare che una funzione sia sommabile secondo Lebesgue, non mi riferisco a quella definita precedentemente, ma mi capita spesso di dover fare delle trasformate di Fourier in cui devo verificare la sommabilità secondo Lebesgue.
Ringrazio anticipatamente chiunque mi possa aiutare.
Risposte
"cozzaciccio":
Per quanto riguarda la sommabilità secondo Riemann [...]
Sommabilità e basta.
Riemann non c'entra nulla.
"cozzaciccio":
[...] non capisco mai quale criterio dover applicare, mi spiego meglio, nel caso di
$\int_-infty^(+infty) 1/(x^3-1)dx$
vedo subito che la funzione non è definita in x=1, quindi devo vedere se la funzione $f(x)=1/(x^3-1)$ è integrabile in $-infty$, $1$ e $+infty$, ecco a questo punto mi blocco, in quanto in analisi 1 mi è stato spiegato di utilizzare i seguenti criteri
$\lim_{x \to \+-infty} f(x)*x^\alpha $
e
$\lim_{n \to \1} f(x)*(x-1)^\beta$
E vedere per quali valori dei parametri questi limiti sono nulli.E' corretto il mio ragionamento?
Sì, ma non del tutto.
Quelli che citi vorrebbero essere i criteri dell'ordine di infinito/infinitesimo per la sommabilità, ma essi non prevedono solo che i limiti siano nulli.
Riguardali bene sul libro di teoria.
"cozzaciccio":
Per quanto riguarda Lebesgue non so proprio come verificare che una funzione sia sommabile secondo Lebesgue, non mi riferisco a quella definita precedentemente, ma mi capita spesso di dover fare delle trasformate di Fourier in cui devo verificare la sommabilità secondo Lebesgue.
Ringrazio anticipatamente chiunque mi possa aiutare.
Un importante teorema stabilisce che se una funzione è integrabile secondo Riemann in un compatto, oppure è impropriamente integrabile oppure ancora è sommabile in un intervallo non compatto, allora essa è integrabile anche nel senso di Lebesgue.
Quindi, detto banalmente, tutti i criteri di integrabilità che conosci da Analisi I sono anche criteri di integrabilità alla Lebesgue.
La cosa ovviamente cambia quando (e se) hai a che fare con quegli "animali bizzarri" che sono le funzioni non integrabili in senso elementare (cioè secondo Riemann o impropriamente) e vuoi capire se esse sono integrabili alla Lebesgue.
Nel caso di funzioni limitate, un bel teorema di Vitali e Lebesgue ti garantisce l'integrabilità a patto che l'insieme delle discontinuità abbia misura nulla secondo Lebesgue.
Nel caso di funzioni non limitate, invece, c'è da lavorare un po' di più.
"gugo82":
[quote="cozzaciccio"]Per quanto riguarda la sommabilità secondo Riemann [...]
Sommabilità e basta.
Riemann non c'entra nulla.[/quote]
Sì scusami era solo per essere il più specifico e chiaro possibile.
"gugo82":
[quote="cozzaciccio"][...] non capisco mai quale criterio dover applicare, mi spiego meglio, nel caso di
$\int_-infty^(+infty) 1/(x^3-1)dx$
vedo subito che la funzione non è definita in x=1, quindi devo vedere se la funzione $f(x)=1/(x^3-1)$ è integrabile in $-infty$, $1$ e $+infty$, ecco a questo punto mi blocco, in quanto in analisi 1 mi è stato spiegato di utilizzare i seguenti criteri
$\lim_{x \to \+-infty} f(x)*x^\alpha $
e
$\lim_{n \to \1} f(x)*(x-1)^\beta$
E vedere per quali valori dei parametri questi limiti sono nulli.E' corretto il mio ragionamento?
Sì, ma non del tutto.
Quelli che citi vorrebbero essere i criteri dell'ordine di infinito/infinitesimo per la sommabilità, ma essi non prevedono solo che i limiti siano nulli.
Riguardali bene sul libro di teoria.[/quote]
Purtroppo non ho a portata di mano il libro di testo, ma gli appunti che ai tempi ci diede il prof, per quanto riguarda il primo criterio (quello per il limite all'infinito per intenderci) ho tre possibili condizioni in base al valore del limite,che appunto non è detto sia sempre zero:
1)il limite è finito, pari ad esempio a $l in (0,+infty)$, è sommabile se $\alpha>1$, non lo è se $\alpha<=1$;
2)il limite è zero, è sommabile se $\alpha>1$;
3)il limite è infinito, allora non è sommabile;
Corretto?
Per il secondo criterio invece ci dovrebbero essere le condizioni contrarie per la sommabilità, cioè è sommabile se $\beta<1$ e con la differenza che adesso si confronta con $1/(x-a)^\beta$, giusto?
Nel mio caso specifico, scompongo l'integrale in 3 integrali in $[-infty,0]$, $[0,1]$ e $[1,+infty]$, quando devo verificare la sommabilità in $+infty$ considero il primo e il terzo intervallo in cui ho scomposto l'integrale ed è come se stessi confrontando con $1/x^3$ che è sommabile in questi, quindi lo sarà anche la mia funzione; nel caso di $1$ la situazione cambia perchè ora mi trovo in $[0,1]$ in cui confronto con $1/(x-1)^(\beta)$ e di conseguenza facendo il limite che avevo indicato risulta che tale limite è finito se $\beta>1$ e per il secondo criterio dovrebbe essere non sommabile. Ho detto bene oppure ho sbagliato tutto o quasi?
"gugo82":
[quote="cozzaciccio"]Per quanto riguarda Lebesgue non so proprio come verificare che una funzione sia sommabile secondo Lebesgue, non mi riferisco a quella definita precedentemente, ma mi capita spesso di dover fare delle trasformate di Fourier in cui devo verificare la sommabilità secondo Lebesgue.
Ringrazio anticipatamente chiunque mi possa aiutare.
Un importante teorema stabilisce che se una funzione è integrabile secondo Riemann in un compatto, oppure è impropriamente integrabile oppure ancora è sommabile in un intervallo non compatto, allora essa è integrabile anche nel senso di Lebesgue.
Quindi, detto banalmente, tutti i criteri di integrabilità che conosci da Analisi I sono anche criteri di integrabilità alla Lebesgue.
La cosa ovviamente cambia quando (e se) hai a che fare con quegli "animali bizzarri" che sono le funzioni non integrabili in senso elementare (cioè secondo Riemann o impropriamente) e vuoi capire se esse sono integrabili alla Lebesgue.
Nel caso di funzioni limitate, un bel teorema di Vitali e Lebesgue ti garantisce l'integrabilità a patto che l'insieme delle discontinuità abbia misura nulla secondo Lebesgue.
Nel caso di funzioni non limitate, invece, c'è da lavorare un po' di più.[/quote]
Ho provato ad usare infatti la definizione di sommabilità secondo Lebesgue ma vado in difficoltà non sapendo da dove partire, per esempio se dovessi calcolare la trasformata di Fourier di
$f(t) = t^2/(1+t^2)^2$
devo vedere se la funzione è sommabile nel senso di Lebesgue e quindi verificare che effettivamente si parla di trasformata nel senso delle funzioni classiche e non delle distribuzioni, per verificare tale sommabilità quindi mi basta utilizzare i criteri per la sommabilità di analisi I ?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo