Sommabilità di una funzione [III]

[Rebdiluca]

Ciao a tutti, mi sono imbattuto di nuovo in un esercizio di questo genere: studiare la sommabilità della funzione $ f(x)=1/sqrt(x)-log(1+1/sqrt(x)) $.
Premetto che non ho proprio pensato a fare l'integrale. C'è qualcuno che mi spiega come procedere in generale con questi esercizi? Io conosco solo il criterio del confronto, cioè che se $ 0<=f(x)<=g(x) $ e $ g(x) $ è sommabile, allora anche $ f(x) $ lo è. Grazie!

[donald_zeka]

Il dominio è $x>0$, devi vedere se l'integrale di quella funzione converge in $0$ e $+oo$

[donald_zeka]

Comunque ti consiglierei di impararti il criterio degli infinitesimi/infiniti

[Rebdiluca]

Ho dimenticato di indicare l'intervallo che suggerisce, cioè $ [1,+\infty[ $. Ho fatto il $ lim_(x -> +\infty) 1/sqrtx-log(1+1/sqrtx) $ e, applicando lo sviluppo di Taylor, noto che in un intorno di $ +\infty $ ha lo stesso comportamento di $ 1/(2x) $. Dato che $ int_(1)^(+\infty) 1/x dx = +\infty $, affermo che la mia funzione di partenza non è sommabile nell'intervallo $ [1,+\infty[ $. E' corretto questo ragionamento?
Inoltre, se considero la serie numerica $ sum(1/sqrtn-log(1+1/sqrtn)) $, questa ha lo stesso carattere della serie $ sum(1/n) $, che diverge. Posso dunque dire che se la serie diverge, la funzione non è sommabile? Grazie!