Sommabilità

[giovx24]

salve,
devo calcolare la sommabilità in 0 di questa funzione

$(arctg(x))/(x*log(sqrt(|x-1|)))$

se non sbaglio dovrebbe essere asintotica a questa:

$1/(x^(1/2)*log(sqrt(|x-1|)))$

e da qui non so come andare avanti

help

[Rigel1]

Per \(x \to 0\) hai che
\[
\arctan(x) \sim x,
\qquad
\log\sqrt{|x-1|} = \frac{1}{2}\log(1-x) \sim - \frac{x}{2}\,.
\]
Adesso ti basta mettere insieme i pezzi.

[giovx24]

grazie mille!

ne approfitto per chiederne un altro

$1/(x log^2(x))$ in 0

qui non ho proprio idee

[otta96]

Trovane una primitiva.

[giovx24]

nessun altro metodo?
mi sono sempre chiesto se c'è un modo per pesare quanto velocemente il logaritmo tende a -infinito

[otta96]

Non penso ci siano altri modi, per lo meno non eccessivamente complicati, comunque il logaritmo va a meno infinito più lentamente di qualsiasi potenza negativa (con il meno).

[giovx24]

grazie

[ospiteee]

In realtà c'è la possibilità di usare il teorema del confronto anche in questo caso. In particolare (con $a>1$ e $0 $$\int_{a}^{+\infty} \frac{1}{t^{\alpha}\ln^{\beta}{t}} dt \quad \text{converge se e solo se} \quad
\begin{cases}
\alpha>1, \, \forall \beta \\
\alpha=1, \, \beta>1
\end{cases}
$$

$$\int_{0}^{b} \frac{1}{t^{\alpha}|\ln{t}|^{\beta}} dt \quad \text{converge se e solo se} \quad
\begin{cases}
\alpha<1, \, \forall \beta \\
\alpha=1, \, \beta>1
\end{cases}
$$

In particolare l'integrale da te proposto (che rientrerebbe nel secondo caso) converge. Nota che per $\alpha=0$ trovi "l'andamento" del solo logaritmo.

[otta96]

Si ma quello dovrai pur dimostrarlo in qualche modo, stai solo spostando il problema.

[ospiteee]

Ah certo, su questo non c'è dubbio. Pensavo fossero da considerare tra i risultati "notevoli" di base nello studio degli integrali impropri