Somma di una serie di potenze
Salve, avrei dei dubbi su come eseguire un esercizio in cui mi viene chiesto di scrivere la somma di una serie di potenze:
Esempio:
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n-1)!} \)
Prima di tutto mi determino il raggio di convergenza, in modo da scegliere per quali x la serie converge e quindi per quali x si può scrivere la sua somma (applicando il criterio del rapporto):
\(\displaystyle R=lim_{n}\frac{(2n-1)!}{(2n+1)!}=1 \)
Vorrei sapere se potrei procedere in questo modo:
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n-1)!}=x\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}
\)
\(\displaystyle x\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}dt=x\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-2)!}\frac{x^{2n-1}}{2n-1}dt=x\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-2)!}\intop_{0}^{x}t^{2n-2}dt=x\intop_{0}^{x}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{t^{2n-2}}{(2n-2)!}dt
\)
A questo punto posso riscalare la serie e ricondurmi ad una esponenziale:
\(\displaystyle x\intop_{0}^{x}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{t^{2n-2}}{(2n-2)!}dt=x\intop_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^{2n}}{(2n)!}dt=x\intop_{0}^{x}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{t^{k}}{(k)!}dt=x\int_{0}^{x}e^{t}dt=x(e^{x}-1)
\)
Questo in quanto \(\displaystyle k=2n \) da cui ottengo che essendo il primo valore di n pari a 0 il primo valore di k è 0: \(\displaystyle k=0 \)
Pensate che questo procedimento possa andare bene?
Vi ringrazio molto.
Distinti saluti
Esempio:
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n-1)!} \)
Prima di tutto mi determino il raggio di convergenza, in modo da scegliere per quali x la serie converge e quindi per quali x si può scrivere la sua somma (applicando il criterio del rapporto):
\(\displaystyle R=lim_{n}\frac{(2n-1)!}{(2n+1)!}=1 \)
Vorrei sapere se potrei procedere in questo modo:
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n-1)!}=x\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}
\)
\(\displaystyle x\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}dt=x\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-2)!}\frac{x^{2n-1}}{2n-1}dt=x\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-2)!}\intop_{0}^{x}t^{2n-2}dt=x\intop_{0}^{x}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{t^{2n-2}}{(2n-2)!}dt
\)
A questo punto posso riscalare la serie e ricondurmi ad una esponenziale:
\(\displaystyle x\intop_{0}^{x}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{t^{2n-2}}{(2n-2)!}dt=x\intop_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^{2n}}{(2n)!}dt=x\intop_{0}^{x}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{t^{k}}{(k)!}dt=x\int_{0}^{x}e^{t}dt=x(e^{x}-1)
\)
Questo in quanto \(\displaystyle k=2n \) da cui ottengo che essendo il primo valore di n pari a 0 il primo valore di k è 0: \(\displaystyle k=0 \)
Pensate che questo procedimento possa andare bene?
Vi ringrazio molto.
Distinti saluti
Risposte
Ciao!
Qualche erroruccio c'è(e nemmeno da poco,non foss'altro perchè t'hanno fuorviato..);
innanzitutto il fatto che,posto $t=x^2$,la serie di potenze $sum_(n=0)^(+oo)(t^n)/((2n-1)!)$ ha raggio di convergenza $lim_(n to +oo)(1/((2n-1)!))/(1/((2n+1)!))$
(scusa il poco rispetto della forma del teorema di Abel in merito,ma vado alla sostanza che è tardi
)$=....=lim_(n to +oo)((2n+1)2n(2n-1)!)/((2n-1)!)=...=+oo$:
inoltre,sempre ammesso che tu abbia giustificato per bene quell'integrale portato fuori dal segno di serie
(trasporto non sempre banalmente possibile da fare,quando non addirittura illecito,
e spesso il cuore di certi esercizi sulle serie di funzioni stà nel verificarne l'eventuale liceità attraverso indagini sull'uniforme convergenza della serie data o,nei casi più fortunati,la sua totale convergenza,
espressa talora,in modo equivalente alla classica definizione di quest'ultimo concetto,
dicendo che converge la serie numerica $sum_(n=0)^(+oo)text{sup}_(x in Domf_n)|f_n(x)|$..),
con la posizione del tuo penultimo passaggio hai indebitamente aggiunto termini alla tua serie
(tutti quelli corrispondenti agli n dispari,se ben ci pensi..)!
Comunque,visto che qualche tua buona idea s'intravede(e non solo in questo post..),
ho il sospetto tu non conosca lo sviluppo in serie di MacLaurin del seno iperbolico:
se però conosci quelli di $e^x$ ed $e^(-x)$ puoi cavartela facendo intanto uscire una x dal segno di sommatoria
(cosa legittima,$AAx inRR$,nella tua serie..),
e poi realizzando un paio di opportune manipolazioni su tali sviluppi
(tipo suddividere il secondo sviluppo in addendi di posto pari e dispari e,poi,"sommando membro a membro",
che tanto in questo caso l'assoluta convergenza t'assicura che non potranno uscire situazioni strane con lo "spezzettamento" delle serie numeriche che otterrai fissando un arbitrario x)!
Saluti dal web.
Qualche erroruccio c'è(e nemmeno da poco,non foss'altro perchè t'hanno fuorviato..);
innanzitutto il fatto che,posto $t=x^2$,la serie di potenze $sum_(n=0)^(+oo)(t^n)/((2n-1)!)$ ha raggio di convergenza $lim_(n to +oo)(1/((2n-1)!))/(1/((2n+1)!))$
(scusa il poco rispetto della forma del teorema di Abel in merito,ma vado alla sostanza che è tardi
)$=....=lim_(n to +oo)((2n+1)2n(2n-1)!)/((2n-1)!)=...=+oo$:inoltre,sempre ammesso che tu abbia giustificato per bene quell'integrale portato fuori dal segno di serie
(trasporto non sempre banalmente possibile da fare,quando non addirittura illecito,
e spesso il cuore di certi esercizi sulle serie di funzioni stà nel verificarne l'eventuale liceità attraverso indagini sull'uniforme convergenza della serie data o,nei casi più fortunati,la sua totale convergenza,
espressa talora,in modo equivalente alla classica definizione di quest'ultimo concetto,
dicendo che converge la serie numerica $sum_(n=0)^(+oo)text{sup}_(x in Domf_n)|f_n(x)|$..),
con la posizione del tuo penultimo passaggio hai indebitamente aggiunto termini alla tua serie
(tutti quelli corrispondenti agli n dispari,se ben ci pensi..)!
Comunque,visto che qualche tua buona idea s'intravede(e non solo in questo post..),
ho il sospetto tu non conosca lo sviluppo in serie di MacLaurin del seno iperbolico:
se però conosci quelli di $e^x$ ed $e^(-x)$ puoi cavartela facendo intanto uscire una x dal segno di sommatoria
(cosa legittima,$AAx inRR$,nella tua serie..),
e poi realizzando un paio di opportune manipolazioni su tali sviluppi
(tipo suddividere il secondo sviluppo in addendi di posto pari e dispari e,poi,"sommando membro a membro",
che tanto in questo caso l'assoluta convergenza t'assicura che non potranno uscire situazioni strane con lo "spezzettamento" delle serie numeriche che otterrai fissando un arbitrario x)!
Saluti dal web.
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