Somma di una serie di potenze

[stefa188]

Salve a tutti,

Ho qualche difficoltà a trovare la somma della serie di potenze: $ sum_(n>= 1) (-1)^n [x^(2n)/(2n(2n-1))] $

Non riesco a ricondurmi ad alcuna serie di Taylor nota. Potreste darmi qualche suggerimento?

Grazie per la disponibilità.

[theras]

Dovrebbe bastare applicare opportunamente lo sviluppo in serie di arctgt ed il teorema d'integrazione per serie(con tesi letta da destra a sinistra..):
saluti dal web.

[stefa188]

Ciao, innanzitutto grazie della rapida risposta.
Avevo già provato come hai detto a ricondurmi allo sviluppo di $ arctan(x)= sum_(n>= 1) ((-1)^n)/(2n+1) x^(2n+1) $ ma non riesco proprio.

[theras]

Allora osserva come,avendosi notoriamente l'uniformeme convergenza della tua serie di potenze in ogni compatto contenuto nel suo insieme di convergenza puntuale,per tutti gli x di sifatti insiemi,essendo pacifico che $sum_{"n=1"}^{+oo} "(-1)"^"n"{"x"^"2n"}/{"2n(2n-1)"}"="sum_{"n=1"}^{+oo}{"(-1)"^"n"}/{"2n-1"}int_"0"^"x" "t"^"2n-1""dt"$,potrai utilizzare,previo applicazione della proprietà di linearità degli integrali definiti,il Teorema d'integrazione per serie appena citato:
a meno di eventuali aggiustamenti del segno,il gioco dovrebbe essere quasi fatto..
Saluti dal web.

[stefa188]

Perfetto credo di aver capito.

$ sum_(n>= 1) (-1)^n/(2n-1)int x^(2n-1) dx = int (sum_(n>= 1) (-1)^n/(2n-1)x^(2n-1) )dx $

pongo ora n=k+1 e ottengo

$ -int (sum_(k+1>= 1) (-1)^k/(2k+1)x^(2k+1) )dx = - intarctan x =-xarctan x+1/2log(1+x^2) $

E' corretto?

[theras]

L'idea l'hai afferrata,si direbbe(anche se è bene tener sempre conto di come sia altrettanto importante giustificare l'uso dei mezzi che,oltre a renderla opportuna,le conferiscono liceità,ed infatti non a caso ho fatto spuntare un integrale definito..):
i conti mi sembrano giusti,ad occhio e croce,ma son certo che sei in grado di far da solo la prova del nove .
Saluti dal web.

[stefa188]

Ok, ho capito grazie mille!