Somma di una serie con sviluppo di Fourier
Buongiorno a tutti. E' da qualche giorno che rifletto su un esercizio di Analisi 2, in particolare mi si chiede di, dopo aver trovato lo sviluppo in serie di Fourier della funzione $ f: (x-|x|)/2$ periodica di periodo $2\pi$ e definita nell'intervallo $[-\pi,\pi)$ , di utilizzare quest'ultima per dedurne la somma della serie numerica $\sum_{n=1}^infty 1/(2n+1)^2$.
Innanzitutto ho trovato lo sviluppo in serie di Fourier della funzione f cioè $-\pi/4 +\sum_{n=1}^infty (((-1)^n+1)/n^2*cos(nx)+ (-1)^(n+1)/n *sin(nx))$.
A questo punto so, che nei punti dell'intervallo in cui la f è continua, la serie di Fourier convergerà proprio ad f ovvero vale che $g(x0)=f(x0)$ dove con g indico la mia serie di Fourier . Date queste informazioni, dovrei quindi trovare il punto x0 che sostituito mi faccia trovare con opportuni passaggi algebrici , un equazione del tipo serie fornita= val costante, nonchè la sua somma. Il mio dubbio è: tra i molteplici punti in cui f è continua, come faccio a sapere a priori qual'è il punto x0 da sostituire in modo da ottenere una somma per la serie che mi è stata fornita? Grazie a chi mi aiuterà!
Innanzitutto ho trovato lo sviluppo in serie di Fourier della funzione f cioè $-\pi/4 +\sum_{n=1}^infty (((-1)^n+1)/n^2*cos(nx)+ (-1)^(n+1)/n *sin(nx))$.
A questo punto so, che nei punti dell'intervallo in cui la f è continua, la serie di Fourier convergerà proprio ad f ovvero vale che $g(x0)=f(x0)$ dove con g indico la mia serie di Fourier . Date queste informazioni, dovrei quindi trovare il punto x0 che sostituito mi faccia trovare con opportuni passaggi algebrici , un equazione del tipo serie fornita= val costante, nonchè la sua somma. Il mio dubbio è: tra i molteplici punti in cui f è continua, come faccio a sapere a priori qual'è il punto x0 da sostituire in modo da ottenere una somma per la serie che mi è stata fornita? Grazie a chi mi aiuterà!
Risposte
Ciao nico_engineering_dd,
Secondo me lo sviluppo in serie di Fourier corretto è il seguente:
$\frac{x - |x|}{2} = -\pi/4 + \sum_{n=1}^{+\infty} [((-1)^{n +1}+1)/(\pi n^2) \cdot cos(nx)+ (-1)^(n+1)/n \cdot sin(nx)] $
A questo punto io voterei per $x_0 = 0 $ e noterei che in tal caso $sin(n x_0) = 0$, mentre degli altri termini sopravvivono solo quelli per $n = 2k + 1$ dispari (per $n$ pari il numeratore del termine in $cos(n x_0) $ si annulla), sicché richiamando $k$ con $n$ si ha:
$0 = -\pi/4 + 1/\pi \sum_{n=0}^{+\infty} 2/(2n + 1)^2 $
$ 2/\pi \sum_{n=0}^{+\infty} 1/(2n + 1)^2 = \pi/4 $
$ \sum_{n=0}^{+\infty} 1/(2n + 1)^2 = (\pi^2)/8 $
$ \sum_{n=1}^{+\infty} 1/(2n + 1)^2 = (\pi^2)/8 - 1 = 1/8(\pi^2 - 8) ~~ 0,23370 $
Secondo me lo sviluppo in serie di Fourier corretto è il seguente:
$\frac{x - |x|}{2} = -\pi/4 + \sum_{n=1}^{+\infty} [((-1)^{n +1}+1)/(\pi n^2) \cdot cos(nx)+ (-1)^(n+1)/n \cdot sin(nx)] $
A questo punto io voterei per $x_0 = 0 $ e noterei che in tal caso $sin(n x_0) = 0$, mentre degli altri termini sopravvivono solo quelli per $n = 2k + 1$ dispari (per $n$ pari il numeratore del termine in $cos(n x_0) $ si annulla), sicché richiamando $k$ con $n$ si ha:
$0 = -\pi/4 + 1/\pi \sum_{n=0}^{+\infty} 2/(2n + 1)^2 $
$ 2/\pi \sum_{n=0}^{+\infty} 1/(2n + 1)^2 = \pi/4 $
$ \sum_{n=0}^{+\infty} 1/(2n + 1)^2 = (\pi^2)/8 $
$ \sum_{n=1}^{+\infty} 1/(2n + 1)^2 = (\pi^2)/8 - 1 = 1/8(\pi^2 - 8) ~~ 0,23370 $
Grazie mille pilloeffe per la risposta. Si, ora mi trovo con lo sviluppo, avevo dimenticato di moltiplicare il tutto per la costante e un piccolo errore di calcolo che mi ha portato a sbagliare il termine an.
Per quanto riguarda i passaggi per il calcolo della somma, mi è tutto abbastanza chiaro tranne una piccola cosa.
Questo passaggio in cui ti vai ad impostare f(0)= serie di Fourier valutata in 0 (nel caso n dispari). Non capisco perchè hai modificato l'indice facendolo partire da 0. Non dovrebbe partire da 1 dato che la serie di Fourier stessa partiva da 1? Quindi ad esempio avrei potuto trovare la somma della serie con indice di partenza 1 e poi sommargli 1 cioè il termine an per n=0 ?
E inoltre da quello che ho capito, non c'è un trucco per capire immediatamente qual'è il punto x0 da andare a sostituire, la cosa da fare però sarebbe provare prima con i punti che mi permettono di semplificare un po il la serie , in questo caso infatti notavo che con x=0 mi riconducevo ad una sola serie e non piu una somma, confermi?
Per quanto riguarda i passaggi per il calcolo della somma, mi è tutto abbastanza chiaro tranne una piccola cosa.
"pilloeffe":
$ 0 = -\pi/4 + 1/\pi \sum_{n=0}^{+\infty} 2/(2n + 1)^2 $
Questo passaggio in cui ti vai ad impostare f(0)= serie di Fourier valutata in 0 (nel caso n dispari). Non capisco perchè hai modificato l'indice facendolo partire da 0. Non dovrebbe partire da 1 dato che la serie di Fourier stessa partiva da 1? Quindi ad esempio avrei potuto trovare la somma della serie con indice di partenza 1 e poi sommargli 1 cioè il termine an per n=0 ?
E inoltre da quello che ho capito, non c'è un trucco per capire immediatamente qual'è il punto x0 da andare a sostituire, la cosa da fare però sarebbe provare prima con i punti che mi permettono di semplificare un po il la serie , in questo caso infatti notavo che con x=0 mi riconducevo ad una sola serie e non piu una somma, confermi?
"nico_engineering_dd":
Grazie mille pilloeffe per la risposta.
Prego.
"nico_engineering_dd":
Non capisco perchè hai modificato l'indice facendolo partire da 0. Non dovrebbe partire da 1 dato che la serie di Fourier stessa partiva da 1?
In realtà avrei dovuto scrivere $2k + 1 $ e siccome i numeri dispari partono da $1$ il primo numero dispari è quello che si ottiene per $k = 0$:
$\0 = -\pi/4 + 1/\pi \sum_{k=0}^{+\infty} 2/(2k + 1)^2 $
Poi ho richiamato $k$ con $n$ ed ecco spiegato perché
"pilloeffe":
$0 = -\pi/4 + 1/\pi \sum_{n=0}^{+\infty} 2/(2n + 1)^2 $
Certo, avrei potuto anche lasciare l'indice $k$ (dato che gli indici di sommatoria sono muti, li si può chiamare come si vuole...
), ma siccome poi nel risultato che dovevi ottenere c'era l'indice $n$ "nico_engineering_dd":
utilizzare quest'ultima per dedurne la somma della serie numerica $\sum_{n=1}^{+\infty} 1/(2n + 1)^2 $.
ho pensato fosse più opportuno far ricomparire l'indice $n$...
"nico_engineering_dd":
[...] confermi?
Confermo. In realtà poi non è che ci sono tutti questi punti da provare, tipicamente sono quelli che annullano il seno o il coseno...
Ok tutto chiaro, grazie ancora per il supporto!
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