Somma di una serie
Ciao a tutti 
Sto cercando di risolvere un esercizio che mi è capitato allo scritto ma che non ho saputo fare
"Utilizzando la definizione di somma di una serie numerica, discutere per quali successioni $a_k$ risulta:
$\sum_{k=0}^(\infty) (a_k - a_(k+1)) = 2a_0$"
Io non ho saputo farlo, e anche a casa non so bene che pesci pigliare In pratica, se ho capito bene, dovrei trovare una successione $a_k$ tale per cui la somma vale $2a_0$. Io sto interpretando questa somma come telescopica (è giusto?)...ma non vorrei che questo dettaglio mi stia mandando fuori strada!!
Vi ringrazio per eventuali suggerimenti e aiuti.
Grazie
Sto cercando di risolvere un esercizio che mi è capitato allo scritto ma che non ho saputo fare
"Utilizzando la definizione di somma di una serie numerica, discutere per quali successioni $a_k$ risulta:
$\sum_{k=0}^(\infty) (a_k - a_(k+1)) = 2a_0$"
Io non ho saputo farlo, e anche a casa non so bene che pesci pigliare
In pratica, se ho capito bene, dovrei trovare una successione $a_k$ tale per cui la somma vale $2a_0$. Io sto interpretando questa somma come telescopica (è giusto?)...ma non vorrei che questo dettaglio mi stia mandando fuori strada!!Vi ringrazio per eventuali suggerimenti e aiuti.
Grazie
Risposte
Allora, io farei così, però c'è un punto che mi inquieta, quindi non prendere le mie parole per oro colato.
A parte il segno invertito quella è proprio la definizione di serie telescopica, quindi la sua successione delle somme parziali è ${a_0 - a_k}_(k=0)^(+infty)$ e quindi, siccome la somma della successione equivale al limite della successione delle somme parziali, basta imporre $a_0 - a_k ->_(k->+infty) 2a_0$,, da cui ricavi la condizione per il termine $a_k$ della serie. Solo che poi mi verrebbe $a_k ->_(k->+infty) - a_0$, il che implica che la serie non sia a segno costante. Non che sia un problema però è fastidioso
Comunque ti metto anche la definizione di somma della serie, tanto per ripasso.
A parte il segno invertito quella è proprio la definizione di serie telescopica, quindi la sua successione delle somme parziali è ${a_0 - a_k}_(k=0)^(+infty)$ e quindi, siccome la somma della successione equivale al limite della successione delle somme parziali, basta imporre $a_0 - a_k ->_(k->+infty) 2a_0$,, da cui ricavi la condizione per il termine $a_k$ della serie. Solo che poi mi verrebbe $a_k ->_(k->+infty) - a_0$, il che implica che la serie non sia a segno costante. Non che sia un problema però è fastidioso
Comunque ti metto anche la definizione di somma della serie, tanto per ripasso.
"poll89":
Solo che poi mi verrebbe $a_k ->_(k->+infty) - a_0$, il che implica che la serie non sia a segno costante. Non che sia un problema però è fastidioso
Giusto. Perché sarebbe fastidioso?!? Per esempio, la successione
\[
(a_n) = (1, -1, -1, -1 \ldots )
\]
verifica le ipotesi.
Fastidioso perchè le serie a termini di segno vario hanno meno proprietà comode rispetto a quelle a segno costante. Tutto qui
Grazie per le vostre risposte...un po' di buio in meno in vista dell'orale!! XD
Solo che a un certo punto del ragionamento mi sono perso. Provo a illustrarvi il tutto, così poi magari riusciamo a collegare tutti i pezzi
Ho capito che la somma della successione equivale al limite della successione delle somme parziali. A questo punto, sapendo che le somme parziali valgono ${a_0 - a_k}$ impongo $a_0 - a_k = 2a_0$ ottenendo $a_k = - a_0$. E mi sembra che tutto fili correttamente Ma ora? L'esercizio termina qui? Non capisco se devo fare il limite $Lim_(k -> \infty) a_k = - a_0$ o cosa? O forse devo trovare solo un valore che rispecchi questo limite?
Vi sono molto grato per il vostro aiuto, vi chiedo solo questo in quanto non ho proprio capito...e l'esempio di dissonance non ha migliorato le cose Anzi, mi ha fatto capire di non aver capito quale possa essere la successione )
Grazie per l'aiuto
Solo che a un certo punto del ragionamento mi sono perso. Provo a illustrarvi il tutto, così poi magari riusciamo a collegare tutti i pezzi
Ho capito che la somma della successione equivale al limite della successione delle somme parziali. A questo punto, sapendo che le somme parziali valgono ${a_0 - a_k}$ impongo $a_0 - a_k = 2a_0$ ottenendo $a_k = - a_0$. E mi sembra che tutto fili correttamente
Ma ora? L'esercizio termina qui? Non capisco se devo fare il limite $Lim_(k -> \infty) a_k = - a_0$ o cosa? O forse devo trovare solo un valore che rispecchi questo limite? Vi sono molto grato per il vostro aiuto, vi chiedo solo questo in quanto non ho proprio capito...e l'esempio di dissonance non ha migliorato le cose
Anzi, mi ha fatto capire di non aver capito quale possa essere la successione )Grazie per l'aiuto
Per me l'esercizio finisce qui, hai trovato una condizione sulla successione equivalente alla condizione (data dal problema) sulla serie della successione, che è quanto richiesto. Ora attento, la condizione è $ a_k ->_(k->+infty) - a_0 $, condizione che è verificata banalmente quando $a_k = - a_0 $, ma non solo in quel caso. Dissonance voleva dare un esempio banale tanto per far vedere che il cambio del segno non è un problema, ma è un po' come se io ti chiedessi "fammi un esempio di funzione da $RR$ in $RR$ che abbia un massimo in $x=1$" e tu rispondessi "la funzione costante $f(x) = 1$ Un'altra successione meno banale che soddisfa la condizione è $a_k = 2/(k+1) - 1$.
Un'altra successione meno banale che soddisfa la condizione è $a_k = 2/(k+1) - 1$.
Grazie mille, gentilissimo e chiarissimo nella spiegazione!!
Ora speriamo solo che l'orale vada bene
Ti ringrazio ancora,
notte
Ora speriamo solo che l'orale vada bene
Ti ringrazio ancora,
notte
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