Somma di insiemi chiusi
Il nostro professore ci ha dato questo esercizio ma non ho molte idee su come iniziare.
"Dati due insiemi A e B in R^n si ponga A+B= $ {a+bin R^n : ain A, bin B} $. Sisupponga $ R^n $ dotato della metrica euclidea. Mostrare che, se A e B sono chiusi, A+B può non essere chiuso, ma è certamente chiuso se almeno uno tra A e B è compatto."
Stavo provando a dimostrarlo dicendo che la chiusura della somma non è uguale alla sommadelle chiusure ma non sono arrivata a molto. Grazie a chi mi aiuterà!
"Dati due insiemi A e B in R^n si ponga A+B= $ {a+bin R^n : ain A, bin B} $. Sisupponga $ R^n $ dotato della metrica euclidea. Mostrare che, se A e B sono chiusi, A+B può non essere chiuso, ma è certamente chiuso se almeno uno tra A e B è compatto."
Stavo provando a dimostrarlo dicendo che la chiusura della somma non è uguale alla sommadelle chiusure ma non sono arrivata a molto. Grazie a chi mi aiuterà!
Risposte
Comincia a dimostrare che la somma è chiusa se $A$ è compatto. Fai un discorso di successioni: prendi una successione $a_n+b_n$ in $A+B$, supponi che essa sia convergente a $c\in R^n$, dimostra che $c$ appartiene ad $A+B$, ovvero, che puoi scrivere $c=a+b$ per opportuni $a\in A, b\in B$. Tieni presente che, a meno di passare ad una estratta, $a_n$ è una successione convergente.
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