Somma di funzioni uniformemente continue

[Manu952]

Buongiorno, stamattina mi è capitato tra le mani il seguente esercizio

"Siano $ f $ e $ g $ due funzioni uniformemente continue su un intervallo I. Dimostrare che la loro somma $ f+g $ è uniformemente continua su I. "

Dalla teoria so cosa si intende per funzione uniformemente continua e so che la somma di due funzioni uniformemente continue è ancora una funzione uniformemente continua, ma come faccio a dimostrarlo?

[gugo82]

Come fecero i vecchi antichi: usando la definizione.

[Manu952]

"gugo82":Come fecero i vecchi antichi: usando la definizione.

Quindi dovrei scrivere che la somma è uniformemente continua perchè

$ AA ε EE δ(ε): AA x_1,x_2 in I $ tali che $ |x_1-x_2|<= δ $ risulta che $ |(f(x_1)+g(x_1)-(f(x_2)+g(x_2))|< ε $ ?

Grazie in anticipo