Somma della serie

[geovito]

Un aiuto per dimostrare la seguente uguaglianza
$f(x)=\sum_{n=1}^\infty\ln ((n+1)/(n+3))= ln 3$
Grazie

[megas_archon]

$f(x)=\sum_{n=1}^\infty\ln ((n+1)/(n+3))$

il lato destro di questa uguaglianza non dipende da x, è un numero. Il lato destro di questa uguaglianza sembra anche uguale a \(\log 6 = \log\left(\frac{2\cdot3\cdot 4\cdot 5\dots}{4\cdot 5\dots}\right)\), non a \(\log 3\)...

[pilloeffe]

Ciao vitus,

Oltre a quanto ti ha già segnalato megas_archon, ti faccio notare che la serie proposta certamente non converge a $ln 3$, ma diverge a $- \infty $

[geovito]

Ho fatto questo ragionamento, il risultato si trova,m non sono sicuro che il ragionamento sia corretto.
Se vedo la serie come telescopica $\sum_{n=1}^\infty\ln ((n+1)/(n+3))$, allora
sarà del tipo $\sum_{n=1}^\infty\a_n - a_(n-1) $ e la somma sarà

$\lim_ {n \to \infty} ln ((n+1)/(n+3))- ln (1/3) $ essendo $n-1=0$
il primo termine va a zero, il secondo è $ln 3$

[pilloeffe]

"vitus":[...] non sono sicuro che il ragionamento sia corretto.

Infatti non lo è: la serie numerica proposta non converge, ma diverge a $-\infty $

D'altronde per la successione delle somme parziali si può scrivere $S_N = ln(6/(N^2 + 5N + 6)) $ ed evidentemente si ha $\lim_{N \to +\infty} S_N = -\infty $

[megas_archon]

OP, dov'è l'errore in
\[\sum_{n\ge 1}\log\left(\frac{n+1}{n+3}\right)=\log\left(\prod_{n\ge 1}\frac{n+1}{n+3}\right)=\log\left(\frac{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\dots}{4\cdot 5\dots}\right) = \log(2\cdot 3)=\log 6?\]

[otta96]

"megas_archon":\[ \log\left(\frac{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\dots}{4\cdot 5\dots}\right) = \log(2\cdot 3)\]

Qua, il membro a sinistra diventerebbe $\lim_(n\to\+infty) \ln(6/(n(n+1)))$, o se vogliamo, $\lim_(n\to\+infty) ln(6)-ln(n)-ln(n+1)$.

[pilloeffe]

"otta96":il membro a sinistra diventerebbe $ \lim_(n\to +\infty) \ln(6/(n(n+1))) $

No, diventerebbe $ \lim_(n \to +\infty) \ln(6/((n+2)(n + 3))) = \lim_(n \to +\infty) \ln(6/(n^2 + 5n + 6)) = - \infty $

[otta96]

Si è vero, pensavo non fosse spstanzialmente differente perchè sono la stessa successione shiftata di $2$, ma in realtà dà dei problemi di definizione.

[pilloeffe]

Affinché all'OP non sembri che le affermazioni dei miei post precedenti siano il frutto di magia più o meno nera, riporto qui di seguito le somme parziali della serie numerica proposta:

$\sum_{n = 1}^{+\infty} ln((n + 1)/(n + 3)) $

$S_1 = a_1 = ln(2) - ln(4) = ln(2) - 2 ln(2) = - ln(2) $

$S_2 = S_1 + a_2 = - ln(2) + ln(3) - ln(5) $

$S_3 = S_2 + a_3 = - ln(2) + ln(3) - ln(5) + ln(4) - ln(6) = ln(2) + ln(3) - ln(5) - ln(6) $

$S_4 = S_3 + a_4 = ln(6) - ln(5) - ln(6) + ln(5) - ln(7) = ln(6) + ln(5) - ln(5 \cdot 6 \cdot 7) $

$S_5 = S_4 + a_5 = ln(6) + ln(5) - ln(5 \cdot 6 \cdot 7) + ln(6) - ln(8) = ln(6) + ln(5 \cdot 6) - ln(5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8) $

$S_6 = S_5 + a_6 = ln(6) - ln(8 \cdot 9) $

$\vdots $

$S_N = ln(6) - ln((N + 2)(N + 3)) = ln(6/((N + 2)(N + 3))) $

Sicché come già scritto si ha $\lim_{N \to +\infty} S_N = - \infty $

[gugo82]

"vitus":Un aiuto per dimostrare la seguente uguaglianza
$\sum_{n=1}^\infty\ln ((n+1)/(n+3))= ln 3$
Grazie

Sicuro che sia un'uguaglianza?
Da dove l'hai presa?

P.S.: Visto che la serie è a termini negativi e che
\[
\ln \left( \frac{n+1}{n+3}\right) = \ln \left( 1 - \frac{2}{n+3}\right) \approx - \frac{2}{n+3}
\]
è evidente che la serie diverge negativamente per confronto asintotico.