Somma dei primi n naturali
Ciao ragazzi, non so esattamente se sia questa la sezione adatta, comunque
Ho fatto una breve ricerca sul forum e mi pare che una domanda tale non è già stata fatta (posso sbagliarmi).
La formula che restituisce la somma dei primi n numeri naturali
può essere dimostrata in vari modi;
in particolare per induzione, per via "figurativa", oppure come si dice fece Gauss
Vi chiedo: quante altre dimostrazioni (o giustificazioni) sapreste dare, conoscete?
più elementari possibili
Si lo ammetto, come domanda è un pò infantile
scusate!
Ho fatto una breve ricerca sul forum e mi pare che una domanda tale non è già stata fatta (posso sbagliarmi).
La formula che restituisce la somma dei primi n numeri naturali
può essere dimostrata in vari modi;
in particolare per induzione, per via "figurativa", oppure come si dice fece Gauss
Vi chiedo: quante altre dimostrazioni (o giustificazioni) sapreste dare, conoscete?
più elementari possibili
Si lo ammetto, come domanda è un pò infantile
scusate!
Risposte
Ricordo di aver letto, tempo fa, un articolo che dimostrava certe proprietà per i gruppi di coomologia di varietà complesse. Tra queste ve ne era una che stabiliva che la somma delle dimensioni di questi gruppi avesse un certo valore. La dimostrazione di questo fatto era molto complessa e usava vari risultati, ma ricordo che al termine dell'articolo (di circa 30 pagine) tra le osservazioni l'autore concludeva dicendo che, se i gruppi di coomologia vengono presi in modo che le loro dimensioni siano i numeri naturali da $1$ a $n$ allora la formula trovata sputava fuori proprio la somma dei primi $n$ naturali.
"seven":
Ciao ragazzi, non so esattamente se sia questa la sezione adatta, comunque
Se lo desideri posso spostare in algebra, logica..., nel caso dillo e provvedo.
Un modo semplice per dimostrare $1+2+...+(n-1)=(n(n+1))/(2)$
lo si può fare per induzione matematica.
lo si può fare per induzione matematica.
Edit. Il seguente messaggio è superfluo non si confà alle richieste dell'utente che ha aperto il topic.
Puoi considerare per esempio, nell'insieme dei primi \(\displaystyle n \) naturali (considero in questo caso \(\displaystyle n \) pari, ma non cambia assolutamente nulla), la somma del primo con l'ultimo, del secondo con il penultimo, del terzo con il terz'ultimo e così via. Si ottiene \[\displaystyle 1+n \] \[\displaystyle 2+n-1=n+1 \] \[\displaystyle 3+n-2=n+1 \] \[\displaystyle \vdots \] \[\displaystyle \frac{n}{2} + \frac{n}{2} + 1=n+1 \]
Le coppie di numeri che si sono sommate sono esattamente \(\displaystyle \frac{n}{2} \) e quindi \[\displaystyle 1+2+ \dots + n=\frac{n(n+1)}{2} \]
- Nel caso \(\displaystyle n \) dispari l'ultima coppia è \(\displaystyle \frac{n-1}{2} + \frac{n-1}{2} +2 =n+1 \), le coppie sono \(\displaystyle \frac{n-1}{2} \) e poi bisogna sommare il termine centrale. Quindi \[\displaystyle 1+2+\dots + n=\frac{(n-1)(n+1)}{2} + \frac{n+1}{2} =\frac{n^2 -1 + n +1}{2}=\frac{n(n+1)}{2} \]
Quella formula è falsa: manca un termine. Infatti se \(\displaystyle n=5 \), \(\displaystyle 1+2+3+4 = 10 \ne \frac{5 \cdot 6}{2} = 15 \)
Puoi considerare per esempio, nell'insieme dei primi \(\displaystyle n \) naturali (considero in questo caso \(\displaystyle n \) pari, ma non cambia assolutamente nulla), la somma del primo con l'ultimo, del secondo con il penultimo, del terzo con il terz'ultimo e così via. Si ottiene \[\displaystyle 1+n \] \[\displaystyle 2+n-1=n+1 \] \[\displaystyle 3+n-2=n+1 \] \[\displaystyle \vdots \] \[\displaystyle \frac{n}{2} + \frac{n}{2} + 1=n+1 \]
Le coppie di numeri che si sono sommate sono esattamente \(\displaystyle \frac{n}{2} \) e quindi \[\displaystyle 1+2+ \dots + n=\frac{n(n+1)}{2} \]
- Nel caso \(\displaystyle n \) dispari l'ultima coppia è \(\displaystyle \frac{n-1}{2} + \frac{n-1}{2} +2 =n+1 \), le coppie sono \(\displaystyle \frac{n-1}{2} \) e poi bisogna sommare il termine centrale. Quindi \[\displaystyle 1+2+\dots + n=\frac{(n-1)(n+1)}{2} + \frac{n+1}{2} =\frac{n^2 -1 + n +1}{2}=\frac{n(n+1)}{2} \]
"21zuclo":
Un modo semplice per dimostrare $1+2+...+(n-1)=(n(n+1))/(2)$
lo si può fare per induzione matematica.
Quella formula è falsa: manca un termine. Infatti se \(\displaystyle n=5 \), \(\displaystyle 1+2+3+4 = 10 \ne \frac{5 \cdot 6}{2} = 15 \)
Ehm, forse avete capito male: non voleva sapere come si dimostra. Voleva sapere se conoscete dimostrazioni alternative. 
Sì, c'hai ragione: avevo letto male il messaggio in capothread.
@Seven.
Da qualche parte in passato,
in un post interessante che nel quale l'op tirava in ballo una dimostrazione geometrica davvero carina
(usata poi da Pzf come spunto iniziale per un'elegante generalizzazione,se ben ricordo..),
mi pare d'averne parlato in termini abbastanza canonici;
ma ora ho la testa ed i sensi dedicati solo al pranzo domenicale,e non riesco proprio a cercare con pazianza
:
te la butto lì veloce,allora,che magari è utile pure ad altri
(anche perchè è un procedimento che,generalizzato in modo abbastanza ovvio,
porta ad una bella formula sulla somma delle $p-"esime"$ potenze dei primi $n$ numeri contente i coefficienti di Bernoulli),
e se vorrai cerchi tu quel thread.
Osserva intanto che:
$2^2+3^2+..+n^2+(n+1)^2(=[(n+1)^2-1]+(1^2+2^2+3^2+..+n^2)=(n^2+2n+1-1)+sum_(k=1)^n k^2)=$
$=(n^2+2n)+sum_(k=1)^n k^2$ (1).
$2^2+3^2+..+n^2+(n+1)^2(=sum_(k=1)^n (k+1)^2=sum_(k=1)^n (k^2+2k+1)=sum_(k=1)^n k^2+2sum_(k=1)^n k+sum_(k=1)^n 1)=$
$=sum_(k=1)^n k^2+2sum_(k=1)^n k +n$ (2).
Uguagliando allora i secondi membri di (1) e (2),avremo $(n^2+2n)+sum_(k=1)^n k^2=sum_(k=1)^n k^2+2sum_(k=1)^n k +nrArr2sum_(k=1)^n k^2=n^2+2n-n=n^2+n=n(n+1)rArr$
$rArrsum_(k=1)^n k=(n(n+1))/2$ c.v.d. :
spero corrisponda più o meno a quanto cercavi.
Saluti da web.
Da qualche parte in passato,
in un post interessante che nel quale l'op tirava in ballo una dimostrazione geometrica davvero carina
(usata poi da Pzf come spunto iniziale per un'elegante generalizzazione,se ben ricordo..),
mi pare d'averne parlato in termini abbastanza canonici;
ma ora ho la testa ed i sensi dedicati solo al pranzo domenicale,e non riesco proprio a cercare con pazianza
:te la butto lì veloce,allora,che magari è utile pure ad altri
(anche perchè è un procedimento che,generalizzato in modo abbastanza ovvio,
porta ad una bella formula sulla somma delle $p-"esime"$ potenze dei primi $n$ numeri contente i coefficienti di Bernoulli),
e se vorrai cerchi tu quel thread.
Osserva intanto che:
$2^2+3^2+..+n^2+(n+1)^2(=[(n+1)^2-1]+(1^2+2^2+3^2+..+n^2)=(n^2+2n+1-1)+sum_(k=1)^n k^2)=$
$=(n^2+2n)+sum_(k=1)^n k^2$ (1).
$2^2+3^2+..+n^2+(n+1)^2(=sum_(k=1)^n (k+1)^2=sum_(k=1)^n (k^2+2k+1)=sum_(k=1)^n k^2+2sum_(k=1)^n k+sum_(k=1)^n 1)=$
$=sum_(k=1)^n k^2+2sum_(k=1)^n k +n$ (2).
Uguagliando allora i secondi membri di (1) e (2),avremo $(n^2+2n)+sum_(k=1)^n k^2=sum_(k=1)^n k^2+2sum_(k=1)^n k +nrArr2sum_(k=1)^n k^2=n^2+2n-n=n^2+n=n(n+1)rArr$
$rArrsum_(k=1)^n k=(n(n+1))/2$ c.v.d. :
spero corrisponda più o meno a quanto cercavi.
Saluti da web.
"Delirium":
[quote="21zuclo"]Un modo semplice per dimostrare $1+2+...+(n-1)=(n(n+1))/(2)$
lo si può fare per induzione matematica.
Quella formula è falsa: manca un termine. Infatti se \(\displaystyle n=5 \), \(\displaystyle 1+2+3+4 = 10 \ne \frac{5 \cdot 6}{2} = 15 \)[/quote]
strano quella formula l'ho presa da un testo. Era il testo di algebra lineare..
"21zuclo":
[quote="Delirium"]
[quote="21zuclo"]Un modo semplice per dimostrare $1+2+...+(n-1)=(n(n+1))/(2)$
lo si può fare per induzione matematica.
Quella formula è falsa: manca un termine. Infatti se \(\displaystyle n=5 \), \(\displaystyle 1+2+3+4 = 10 \ne \frac{5 \cdot 6}{2} = 15 \)[/quote]
strano quella formula l'ho presa da un testo. Era il testo di algebra lineare..
[/quote]Ragazzi.. sarà l'ora tarda... ma non capisco di cosa state discutendo.
@D: se $n=5$ allora devo fare $1+2+3+4+5=15$, o sbaglio?
Edit: ho capito! 21zuclo ha dimenticato di aggiungere $n$ alla fine! doveva essere " $1+2+...+(n-1)+n=(n(n+1))/(2)$"
Ad ogni modo se devo trovare velocemente quanto fa la somma di un gruppo (pari) di numeri in serie aritmetica non faccio altro che sommare il primo all'ultimo e moltiplicare per la metà del numero dei termini, giusto?
"gio73":
[...] Edit: ho capito! 21zuclo ha dimenticato di aggiungere $n$ alla fine! doveva essere " $1+2+...+(n-1)+n=(n(n+1))/(2)$" [...]
Exactly.
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