Soluzioni equazione al variare del parametro lambda!?

[tommyr89]

Un saluto a tutti!

Vorrei un aiuto su un problema di analisi che sinceramente non so come affrontare.
Al variare del parametro λ determinare il numero di soluzioni dell'equazione:
$ arctan(x ^ 3 - 3 x + lambda) = 0

siete in grado di darmi un mano?

[Steven11]

Benvenuto nel forum.

Iniziamo a pensare: quando è che l'arcotangente si annulla, cioè come deve essere il suo argomento?

[ViciousGoblin]

"tommyr89":Un saluto a tutti!

Vorrei un aiuto su un problema di analisi che sinceramente non so come affrontare.
Al variare del parametro λ determinare il numero di soluzioni dell'equazione:
$ arctan(x ^ 3 - 3 x + lambda) = 0

siete in grado di darmi un mano?

Prima di tutto nota che l'arcotangente si annulla se e solo se si annulla il suo argomento. Ne segue che la tua equazione e' equivalente a
$x ^ 3 - 3 x + lambda = 0$
Dopo di che io farei lo studio del grafico della funzione $f(x)=x^3-3x$. Da questo ....

[tommyr89]

Grazie per la risposta,
allora l'unico modo di risolvere questo problema è disegnare il grafico? o esiste un metodo per calcolare gli intervalli in cui ci sono 1,2 o 3 soluzioni?
calcolando le soluzioni rispetto alla $y$ viene un calcolo troppo complicato.

[Camillo]

Nessuno ti chiede di determinare quali siano le soluzioni dell'equazione, ma soltanto di determinare quante siano al variare di $lambda$.
Segui il suggerimento di V.G. , riscrivi l'equazione così : $x^3-3x= -lambda$
Adesso studia il grafico di $ f(x)= x^3-3x $ , è una cubica e di $g(x)= -lambda $ , non è altro che una ... che si sposta parallelamente a se stessa al variare del parametro.
Le soluzioni dell'equazione sono i valori di ascissa per cui appunto $f(x)= g(x) $ , cioè le ascisse dei punti di intersezione tra le 2 curve.A te interessano solo quante sono le intersezioni tra le due curve.